Решение заданий В9 по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2013 года

Найдите квадрат расстояния между вершинами B и D 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 7, AA 1 = 6.1 С1С1 В1В1 А С В D А1А1 D1D Решение. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов трех его измерений: BD 1 2 = AB 2 + BC 2 + BB 1 2 BD 1 2 = AB 2 + AD 2 + AA 1 2 BD 1 2 = = = = 110 Ответ: 110.

Найдите расстояние между вершинами A и D 1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 4, AD = 12, AA 1 = 5.2 Решение. Диагональ грани прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов двух его измерений (по теореме Пифагора в п/у ADD 1 ): АD 1 2 = AD 2 + DD 1 2 BD 1 2 = AD 2 + AA 1 2 BD 1 2 = = 13 2 BD 1 = 13 Ответ: 13. С1С1 В1В1 А С В D А1А1 D1D

Найдите угол AC 1 C прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 15, A 1 D 1 = 8, AA 1 = 17. Ответ дайте в градусах.3 Решение. Угол AC 1 C найдем из п/у AСС 1, в котором известен катет СС 1 = АА 1 = 17, а катет АС найдем по теореме Пифагора в п/у AВС: АС 2 = AВ 2 + ВС 2 AC 2 = = 17 2 AC = 17. Значит AСС 1 р/б, AC 1 C = 45. Ответ: 45. С1С1 В1В1 А С В D А1А1 D1D

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны 41. Найдите расстояние между точками F и B 1. 4 Ответ: 84. С1С1 В1В1 41 А С В D F E А1А1 D1D1 F1F1 E1E1 Решение. Расстояние между точками F и B 1 найдем из п/у FBB 1, в котором известен катет BB 1 = 41, а катет FB является меньшей диагональю в правильном шестиугольнике и равен По теореме Пифагора в п/у FBB 1 : FB 1 2 = FВ 2 + FB 1 2 FB 1 2 = (41 3) = = 41 2 (3 + 1) = ; FB 1 = 41 2 = 84.

5 Ответ: 145. С1С1 В1В А С В D F E А1А1 D1D1 F1F1 E1E1 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны Найдите расстояние между точками A 1 и D. Решение. Расстояние между точками D и A 1 найдем из п/у AA 1 D, в котором известен катет AA 1 = 29 5, а катет AD является большей диагональю в правильном шестиугольнике и равен По теореме Пифагора в п/у AA 1 D : DA 1 2 = DA 2 + AA 1 2 DA 1 2 = (29 5) 2 + (58 5) 2 = = 29 2 (5 + 20) = ; DA 1 = 29 5 = 145.

6 Ответ: 2. С1С1 В1В1 30 А С В D F E А1А1 D1D1 F1F1 E1E1 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны 30. Найдите тангенс угла AD 1 D. Решение. Рассмотрим п/у AD 1 D, в котором известен катет DD 1 = 30, а катет AD является большей диагональю в правильном шестиугольнике и равен 60. tg AD 1 D = AD : DD 1 = 60 : 30 = 2

7 Ответ: 60. С1С1 В1В А С В D F E А1А1 D1D1 F1F1 E1E1 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны 20. Найдите угол СВЕ. Ответ дайте в градусах. Решение. Рассмотрим п/у СВЕ, в котором известен катет ВС = 20, а катет ВЕ является большей диагональю в правильном шестиугольнике и равен 40. cos СВЕ = ВС : ВЕ = 20 : 40 = 0,5 СВЕ = 60

8 Ответ: 60. С1С1 В1В1 31 А С В D F E А1А1 D1D1 F1F1 E1E1 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра равны 31. Найдите угол С 1 СЕ 1. Ответ дайте в градусах. Решение. Рассмотрим п/у С 1 СЕ 1, в котором известен катет СС 1 = 31, а катет С 1 Е 1 является меньшей диагональю в правильном шестиугольнике и равен tg С 1 СЕ 1 = E 1 С 1 : CC 1 = = 31 3 : 31 = 3 СВЕ = 60

9 Ответ: 9. Найдите расстояние между вершинами D и В 1 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Решение. Рассмотрим п/у В 1 ВD, в котором катет BB 1 = 12 – 6 = 6, а катет BD 2 = AD 2 + AB 2 = = 45 DB 1 2 = DB 2 + BB 1 2 = = 81 DB 1 = 9. С1С1 В1В1 А С В D А1А1 D1D1 С2С2 В2В2 А2А2 D2D

1010 Ответ: 65. Найдите квадрат расстояния между вершинами D и В 2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Решение. Рассмотрим п/у DD 2 В 2, в котором катет DD 2 = 5, а катет B 2 D 2 2 = A 2 D A 2 B 2 2 B 2 D 2 2 = = 40 DB 2 2 = DD B 2 D 2 2 = = 65. С1С1 В1В1 А С В D А1А1 D1D1 С2С2 В2В2 А2А2 D2D

1111 Ответ: 34. Найдите квадрат расстояния между вершинами D и С 2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Решение. Рассмотрим п/у DD 2 С 2, в котором катет DD 2 = 5, а катет D 2 С 2 = 3 DС 2 2 = DD D 2 С 2 2 DС 2 2 = = 34. С1С1 В1В1 А С В D А1А1 D1D1 С2С2 В2В2 А2А2 D2D

12 Ответ: 13. Найдите расстояние между вершинами C и B 2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Решение. Достроим до прямоугольного параллелепипеда как на рисунке. Рассмотрим п/у B 2 СМ, в котором катет МС = 12, а катет B 2 М 2 = B 2 C C 2 М 2 = = (6 – 2) 2 = 25 B 2 C 2 = B 2 M 2 + MC 2 = = = 169 B 2 C = 13. С1С1 А С В D А1А1 D1D1 С2С2 В2В2 А2А2 D2D В1В1 М

13 Ответ: 344. Найдите квадрат расстояния между вершинами А 2 и С 1 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Решение. Достроим до прямоугольного параллелепипеда как на рисунке. С1С1 В1В1 А С В D А1А1 С2С2 А2А2 D2D Рассмотрим п/у А 2 С 1 М, в котором катет МС 1 = 14 – 12 = 2, а катет А 2 М 2 = A 2 D D 2 М 2 = = = 340 A 2 C 1 2 = A 2 M 2 + MC 1 2 = = = 344. М В2В2 D1D1

Используемые материалы Материалы открытого банка заданий по математике 2013 года