З АДАЧИ НА СМЕСИ. Смешивание веществ разных концентраций

0,75 части 3 раза. Сделали из 25% раствора 75% раствор – в растворе стало 0,75 части вещества, т.е. вещество увеличили в 3 раза. 0,4 части2 раза. Получили из 80% раствора 40% раствор – в растворе стало 0,4 части вещества, т.е. вещество уменьшили в 2 раза. 0,8 части Имеется 80% раствор – в растворе 0,8 части вещества. При решении задач на смеси часто путают проценты и доли, раствор и растворенное вещество. Масса раствора (m) процентная концентрация ( v) процентная концентрация ( v) * Масса вещества (m) = ,01n части Имеется n% раствор – в растворе 0,01n части вещества. m * m = v 0,01 0,01

В ПРОЦЕССЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НУЖНО ДЕЙСТВОВАТЬ ПО СЛЕДУЮЩЕЙ СХЕМЕ : 1. Изучение условия задачи. Выбор неизвестных величин (их обозначаем буквами х, у и т.д.), относительно которых составляем пропорции. Выбирая неизвестные параметры, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи. 2. Поиск плана решения. Используя условия задачи, определяем все взаимосвязи между данными величинами. 3. Осуществление плана, т.е. оформление найденного решения – переход от словесной формулировки к составлению математической модели. 4. Изучение полученного решения, критический анализ результата.

В каких пропорциях нужно смешать а%-й и b%-й растворы кислоты (a < b), чтобы получить с%-й раствор? Составим таблицу:ab 0,01 a x х + у 0,01( a x + b y) З АДАЧА 1. Концентрация ( v ), % Масса раствора (m), г Масса кислоты ( m ), г 1 раствор 2 раствор смесьху 0,01 b y m * m = v 0,01 0,01 0,01 c (x + y) 0,01 c (x + y) = 0,01( a x + b y) Составим уравнение: c x + c y = a x + b y c x – a x = b y – c y с с, (a < с < b) х( c – a ) = у( b – c ) х( c – a ) = у( b – c ) х : у = ( b – c ) : ( c – a ) х : у = ( b – c ) : ( c – a ) ! a x – c x = c y – b y

В каких пропорциях нужно смешать а%-й и b%-й растворы кислоты (a < b), чтобы получить с%-й раствор? Составим диагональную схему, зная что a < с < b: З АДАЧА 1. В этой схеме а и b – концентрации исходных растворов, с – требуемая концентрация кислоты в процентах, а «крест-накрест» – записаны их разности (b – с) и (с – а), соответствующие отношению масс растворов а и b. ( b – c ) (c – a)(c – a)(c – a)(c – a)a b с ( b – c ) : ( c – a ) ( b – c ) : ( c – a )

Сколько граммов 9%-го раствора спирта можно получить из 200 г 72%-го раствора спирта? З АДАЧА Составим диагональную схему: 9%-й раствор спирта получают из 70%-го, разбавляя его водой. В воде 0% спирта. 7 1 x 200 Данные числа можно разделить на 9 Значит, 1 часть 70%-го раствора спирта надо разбавить 7 частями воды. х = 7 * 200, х = 1400 х = 7 * 200, х = = 1600(г) – получат 9%-го раствора спирта = 1600(г) – получат 9%-го раствора спирта. Решаем получившуюся пропорцию. ОТВЕТ: 1600г получат 9%-го раствора спирта.

Сплавили два слитка серебра: 75 г 600-й и 150 г 864-й пробы. Определить пробу сплава. З АДАЧА – х х – х Составим диагональную схему: (864 – х) = х – 600; ОТВЕТ: получат сплав 776 пробы. Данные числа можно разделить на Решаем получившуюся пропорцию – 2х = х – 600; х = 776. х = 776.

Вычислите массу сплава и массовую долю (в процентах) серебра в сплаве с медью, зная, что сплавив его с 3 кг чистого серебра, получат сплав, содержащий 90% серебра, а сплавив его с 2 кг сплава, содержащего 90% серебра, получат сплав с 84-процентной массовой долей серебра. З АДАЧА – р 100 р 90 Составим две диагональные схемы для двух условий: х 3 Составим первую пропорцию. х кг – масса сплава, р% - массовая доля серебра в сплаве. х(90 – р) = – р 90 р 84х 2 х(84 – р) = 12 Составим вторую пропорцию.

Вычислите массу сплава и массовую долю (в процентах) серебра в сплаве с медью, зная, что сплавив его с 3 кг чистого серебра, получат сплав, содержащий 90% серебра, а сплавив его с 2 кг сплава, содержащего 90% серебра, получат сплав с 84-процентной массовой долей серебра. З АДАЧА 4. Из двух уравнений составим систему, т.к. искомые элементы должны удовлетворять каждому уравнению. х кг – масса сплава, р% - массовая доля серебра в сплаве. х(90 – р) = 30 х(84 – р) = 12 Решим данную систему. 6х = 18 х = 3 (90 – р) = 30 х3 90 – р = 10 р = 80 ОТВЕТ: 3 кг масса сплава, содержащего 80% серебра.

В один из двух сосудов, каждый емкостью по 6 л, налито 4 л 70% раствора соли, а во второй – 3 л 90% раствора соли. Сколько раствора нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы в нем получился раствор концентрации а%? З АДАЧА – а а – а Составим диагональную схему: 4 х х(90 – а ) = 4( а – 70) х(90 – а ) = 4( а – 70) Решаем получившуюся пропорцию относительно х. ОТВЕТ: Необходимо перелить х = 4( а – 70) : (90 – а ), где 70 а 230 : 3. х = 4( а – 70) : (90 – а ) х = 4( а – 70) : (90 – а ) Оценим возможные значения параметра а. 4( а – 70) 4( а – 70) (90 – а ) (90 – а ) 0 2,2, 70 а 230 : 3

З АДАЧИ НА СМЕСИ. Удаление вещества из смесей

Имеется х кг раствора с процентным содержанием вещества А равным k%. Сколько необходимо удалить из него раствора с процентным содержанием вещества А равным q%, чтобы в оставшемся растворе процентное содержание вещества А стало равным р%?k q 0,01kx х – у 0,01(kx – qy) З АДАЧА 6. Концентрация ( v ), % Масса раствора (m), г Масса кислоты ( m ), г исходныйраствор удаленный раствор раствор полученныйрастворху 0,01qy 0,01p (x – y) Составим уравнение: p p, (q < k < p) Оценим параметры k, p, q. k обязательно должно быть больше q, тогда концентрация полученного раствора p будет больше концентрации исходного. 0,01p (x – y) = 0,01(kx – qy) px – py = kx – qy qy = kx – px – py Из обоих частей уравнения вычтем ky. qy – ky = kx – px – py – ky Сгруппируем, вынося общий множитель за скобки. y(q – k) = (x – y) (k – p) (x – y) : у = (q – k) : (k – p) или (x – y) : у = (k – q) : (p – k) m * m = v 0,01 0,01 Обе части уравнения разделим на 0,01 и раскроем скобки.

Имеется х кг раствора с процентным содержанием вещества А равным k%. Сколько необходимо удалить из него раствора с процентным содержанием вещества А равным q%, чтобы в оставшемся растворе процентное содержание вещества А стало равным р%? З АДАЧА 6. (k – q) (p – k) p q k Составим диагональную схему, зная что q < k < p: y x – y (x – y) : у = (k – q) : (p – k)

Имеется х кг раствора с процентным содержанием вещества А равным k%. Сколько необходимо удалить из него раствора с процентным содержанием вещества А равным q%, чтобы в оставшемся растворе процентное содержание вещества А стало равным р%? З АДАЧА 6. (k – q) (p – k) p q ky x – y % вещества в удаленном растворе % вещества в оставшемся растворе % вещества в исходном растворе

Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие – 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих? З АДАЧА Составим диагональную схему: 22 – х х Из грибов удаляется вода с процентным содержанием 100%. Данные числа можно разделить на Решаем получившуюся пропорцию. 39х 39х = 5(22 – х); 44х 44х = 110; х х = 2,5 ОТВЕТ: 2,5 кг сухих грибов получится из 22 кг свежих.