Элективный курс по предпрофильной подготовке учащихся 9 классов. Занятие первое. Учитель математики МОУ-СОШ с.Подлесное Марксовского района Саратовской области Сердогалиева С.А.

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами («параметр» с греч. parametron – отмеривающий). В обыденной жизни мы употребляем слово «параметр» как величину, характеризующую какое- либо основное свойство процесса, явления или системы, машины, прибора (напряжение, электрическое сопротивление, масса, коэффициент трения и др.)

В математике параметр – это постоянная величина, выраженная буквой, сохраняющая свое постоянное значение лишь в условиях данной задачи.

функция прямая пропорциональность: у = kx (х и у – переменные, k – параметр, k0); линейная функция: у = kx+b (х и у – переменные, k и b – параметры); линейное уравнение: ax+b=0 (х – переменная, a и b – параметры); уравнение первой степени: ax+b=0 (х – переменная, a и b – параметры, а0); квадратное уравнение: ax²+bx+c=0 (x – переменная, а, b и с – параметры, а0).

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n, а неизвестные – буквами x, y, z. Например, в уравнении x 2 -3kx+4=0 буквой k обозначен параметр. Параметру k можно давать любые числовые значения. Таким образом, будем получать различные квадратные уравнения, определяемые параметром.

Если k= 2, то получим уравнение x 2 -6x+4=0; если k= 10, то получим уравнение x 2 -30x+4=0; если k= -1, то получим уравнение x 2 +3x+4=0.

Решить уравнение с параметром – значит, для каждого действительного значения параметра найти все решения данного уравнения или установить, что их нет

Договоримся все значения параметра, при которых уравнение не имеет смысла, включать в число значений параметра, при которых уравнение не имеет решений.

Многочлен ах 2 +bх+с, где а0,а,b,с – действительные числа, называют квадратным трехчленом. Уравнение вида ах 2 +bх+с=0, где а0,а,b,с – действительные числа, называется квадратным.

Число D = b 2 – 4ас называется дискриминантом квадратного трехчлена ах 2 +bх+с, а также дискриминантом уравнения aх 2 +bх+с=0. Если второй коэффициент четен, то используем формулу: D =k² - ac, где k=

если D0, то имеет только два действительных корня: х 1,2 = если D=0, то имеет только одно решение (или два равных корня): х =

Решение: Квадратное уравнение не имеет корней в том и только в том случае, если дискриминант отрицателен. Найдем дискриминант и выясним, при каких значениях с он будет отрицательным. х 2 +2х+с=0, D = b 2 – 4ac, D = 4 - 4c, D 4, с>1 Ответ: (1;).

Решение. (Для уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.) Если а=0, то данное уравнение является линейным -4х=0 с единственным корнем х=0. Если а0, то исходное уравнение является квадратным и имеет единственное решение при D=0. ax 2 – 4x + 16a=0, D 1 = 4 - a16a= 4 – 16a 2, 4 – 16a 2 = 0, a 2 = 0,25, a= ± 0,5. Ответ: -0,5; 0; 0,5.

Решение. Если p = 0, то уравнение принимает вид: – x =0 и имеет один корень. Если p 0, то уравнение будет квадратным и имеет два корня, если дискриминант положителен. 2px 2 – 2 x + p =0, D= 2 - 8p 2, 2 - 8p 2 >0, p 2 < 0,25, - 0,5 < p < 0,5. -0,5 < p < 0,5, p 0; p (-0,5; 0) (0; 0,5). На объединении данных промежутков целых значений p нет. Ответ: нет решения.

Решение. Если a=0, то данное уравнение является линейным – 4x + 1 = 0 с единственным корнем x = 0,25. Если a 0, то исходное уравнение является квадратным и имеет единственное решение при D= 0. D 1 = 4(a+1) 2 - 2a(4a+1)= 4a 2 +8a+4 -8a 2 - 2a= -4a 2 +6a+4, 2a 2 -3a -2 = 0, a 1 = - 0,5, a 2 = 2. Ответ: -0,5; 0; 2.

Пример 5. При каких значениях k уравнение х 2 +kх+9=0 имеет корни? Пример 6. При каких значениях b уравнение 3bх 2 - bх+1=0 не имеет корней? 1.23(а), 1.15(а,в)