Правильные многогранники

Цель и задачи: Закрепление изученного материала; Закрепление изученного материала; Увеличение интереса к геометрии; Увеличение интереса к геометрии; Развитие логического мышления. Развитие логического мышления.

История Правильные многогранники названы по имени Платона, который в сочинении «Тимей» (IV век до н. э.) придавал им мистический смысл, но были известны и до Платона. Правильные многогранники названы по имени Платона, который в сочинении «Тимей» (IV век до н. э.) придавал им мистический смысл, но были известны и до Платона. Кеплер пытался построить модель Солнечной системы вписывая и описывая правильные многогранники в сферы. Это не удалось, но послужило толчком к разработке Законов Кеплера. Кеплер пытался построить модель Солнечной системы вписывая и описывая правильные многогранники в сферы. Это не удалось, но послужило толчком к разработке Законов Кеплера.

Правильный многогранник, или Платоново тело это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией. Правильный многогранник, или Платоново тело это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией. Многогранник называется правильным, если: Многогранник называется правильным, если: он выпуклый он выпуклый все его грани являются равными правильными многоугольниками все его грани являются равными правильными многоугольниками в каждой его вершине сходится одинаковое число граней в каждой его вершине сходится одинаковое число граней все его двухгранные углы равны все его двухгранные углы равны

Существует всего пять правильных многогранников: Тетраэдр Тетраэдр Тетраэдр Куб Куб Куб Октаэдр Октаэдр Октаэдр Додекаэдр Додекаэдр Додекаэдр Икосаэдр Икосаэдр Икосаэдр

Тетраэдр Тетра́эдр многогранник с четырьмя треугольными гранями, в каждой из вершин которого сходятся по 3 грани. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Тетра́эдр многогранник с четырьмя треугольными гранями, в каждой из вершин которого сходятся по 3 грани. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.

Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед. Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины. Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра. Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины.

Выделяют: Выделяют: равногранный тетраэдр, у которого все грани - равные между собой треугольники; равногранный тетраэдр, у которого все грани - равные между собой треугольники; ортоцентрический тетраэдр, у которого все высоты, опущеные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке; ортоцентрический тетраэдр, у которого все высоты, опущеные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке; прямоугольный тетраэдр, у которого все ребра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой; прямоугольный тетраэдр, у которого все ребра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой; правильный тетраэдр, у которого все грани - равносторонние треугольники. правильный тетраэдр, у которого все грани - равносторонние треугольники.

Теорема Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам. Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам.

Куб Куб или гексаэдр правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Частный случай параллелепипеда и призмы. Куб или гексаэдр правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Частный случай параллелепипеда и призмы.

Свойства куба В куб можно вписать тетраэдр двумя способами, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба. Все шесть рёбер тетраэдра будут лежать на всех шести гранях куба и равны диагонали грани-квадрата. В куб можно вписать тетраэдр двумя способами, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба. Все шесть рёбер тетраэдра будут лежать на всех шести гранях куба и равны диагонали грани-квадрата. Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками - эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырём его диагоналям. Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками - эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырём его диагоналям. В куб можно вписать октаэдр, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба. В куб можно вписать октаэдр, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба. Куб можно вписать в октаэдр, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра. Куб можно вписать в октаэдр, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра. В куб можно вписать икосаэдр, при этом шесть взаимно параллельных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба. Все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба. В куб можно вписать икосаэдр, при этом шесть взаимно параллельных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба. Все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба.

Октаэдр Окта́эдр (греч. οκτάεδρον, от греч. οκτώ, «восемь» и греч. έδρα «основание») один из пяти правильных многогранников. Окта́эдр (греч. οκτάεδρον, от греч. οκτώ, «восемь» и греч. έδρα «основание») один из пяти правильных многогранников. Октаэдр имеет 8 граней (треугольных), 12 рёбер, 6 вершин (в каждой вершине сходятся 4 ребра). Октаэдр имеет 8 граней (треугольных), 12 рёбер, 6 вершин (в каждой вершине сходятся 4 ребра).

Свойства Октаэдр можно вписать в тетраэдр, притом четыре (из восьми) грани октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра. Октаэдр можно вписать в тетраэдр, притом четыре (из восьми) грани октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра. Октаэдр с ребром y состоит из 6 октаэдров (по вершинам) с ребром y / 2 и 8 тетраэдров (по граням) с ребром y / 2. Октаэдр с ребром y состоит из 6 октаэдров (по вершинам) с ребром y / 2 и 8 тетраэдров (по граням) с ребром y / 2. Октаэдр можно вписать в куб, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба. Октаэдр можно вписать в куб, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба. В октаэдр можно вписать куб, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра. В октаэдр можно вписать куб, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.

Додекаэдр Додека́эдр (от греч. dodeka двенадцать и hedra грань), двенадцатигранник правильный многогранник, объёмная геометрическая фигура, составленная из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Додека́эдр (от греч. dodeka двенадцать и hedra грань), двенадцатигранник правильный многогранник, объёмная геометрическая фигура, составленная из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников.

додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра. Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°. додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра. Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°. Додекаэдр применяется как генератор случайных чисел (вместе с другими костями) в настольных ролевых играх, и обозначается при этом d12(dice - кости). Додекаэдр применяется как генератор случайных чисел (вместе с другими костями) в настольных ролевых играх, и обозначается при этом d12(dice - кости). Результаты наблюдений в августе 2006 года во время нанесения на карты областей распределения темной материи в скоплении галактик Cl (ZwC ) свидетельствуют о том, что Вселенная представляет собой набор бесконечно повторяющихся додекаэдров Результаты наблюдений в августе 2006 года во время нанесения на карты областей распределения темной материи в скоплении галактик Cl (ZwC ) свидетельствуют о том, что Вселенная представляет собой набор бесконечно повторяющихся додекаэдров

Икосаэдр Икоса́эдр (от греч. εικοσάς, «двадцать» и греч. -εδρον, «грань», «лицо», «основание») правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, одно из Платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин 12. Икоса́эдр (от греч. εικοσάς, «двадцать» и греч. -εδρον, «грань», «лицо», «основание») правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, одно из Платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин 12.

Свойства Икосаэдр можно вписать в куб, при этом, шесть взаимно параллельных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба Икосаэдр можно вписать в куб, при этом, шесть взаимно параллельных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба В икосаэдр может быть вписан тетраэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра. В икосаэдр может быть вписан тетраэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра. Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, при том вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра. Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, при том вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра. В икосаэдр можно вписать додекаэдр, при том вершины додекаэдра будут совмещены с центрами граней икосаэдра. В икосаэдр можно вписать додекаэдр, при том вершины додекаэдра будут совмещены с центрами граней икосаэдра.

Теорема Эйлера Для любого выпуклого многогранника сумма числа вершин и сумма граней на две единицы больше числа его ребер Для любого выпуклого многогранника сумма числа вершин и сумма граней на две единицы больше числа его реберВ+Г-Р=2

Список литературы Газета «Первое сентября». Математика Газета «Первое сентября». Математика ru.wikipedia.org/wiki ru.wikipedia.org/wiki Учебник геометрии Л.С. Атанасян Учебник геометрии Л.С. Атанасян «Геометрия» И.М. Смирнова, В.А. Смирнов «Геометрия» И.М. Смирнова, В.А. Смирнов jpeg jpeg