МКОУ Лукинская ООШ Мультимедийная презентация по математике Великий Пифагор 1

2

3

Проследить жизненный путь Пифагора. Выяснить историю теоремы Пифагора. Способы доказательства теоремы Пифагора. Значение этой теоремы в жизни людей. Какую роль сыграл Пифагор в развитии математики? Проследить жизненный путь Пифагора. Выяснить историю теоремы Пифагора. Способы доказательства теоремы Пифагора. Значение этой теоремы в жизни людей. Какую роль сыграл Пифагор в развитии математики? 4

- Расширить и систематизировать знания о Пифагоре. - Формирование навыков проектной деятельности. - Развитие исследовательской деятельности. 5

О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским. Пифагор имел красивую внешность, носил длинную бороду, а на голове золотую диадему. Отцом Пифагора был Мнесарх – резчик по драгоценным камням. Мать Партенида, позднее переименованная мужем в Пифаиду, происходила из знатного рода Анкея, основателя греческой колонии на Самосе. Многие считали, что Пифагор – это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор - "убеждающий речью".) О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским. Пифагор имел красивую внешность, носил длинную бороду, а на голове золотую диадему. Отцом Пифагора был Мнесарх – резчик по драгоценным камням. Мать Партенида, позднее переименованная мужем в Пифаиду, происходила из знатного рода Анкея, основателя греческой колонии на Самосе. Многие считали, что Пифагор – это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор - "убеждающий речью".) 6

7

8

Пифагор с детства был удивительно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Среди учителей юного Пифагора были: старец Гермодамант и Ферекид Сиросский. Когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове. Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шел восьмой десяток. Мудрый ученый посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам когда-то изучал науки. Фалес Милетский 9

Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Его поразило то, что в родной Греции боги были в образе людей, а египетские боги – в образе полулюдей – полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру, познакомиться с достижениями египетской науки. Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Жрецы, не желавшие распространения своих знаний за пределы храмов, не хотели его отпускать. С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду. 10

По дороге домой Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашел свое место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли при счете позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений. Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в возрасте сорока лет вернулся на родину. У Пифагора была жена Феано, сын Телавг и дочь. 11

На острове Самос Пифагор оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне. Это был самый плодотворный период в жизни Пифагора. Там Пифагор организовал тайный союз молодежи из представителей аристократии. В этот союз принимали с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. 12

«Пифагорейцы», как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю. Фрагмент фрески Рафаэля «Пифагор среди учеников. Афинская школа»

Пифагорейская система занятий состояла из трёх разделов: учения о числах – арифметике, учения о фигурах – геометрии, учения о строении Вселенной – астрономии. Музыка, гармония и числа были неразрывно связаны в учении Пифагорейцев. Математика и числовая мистика были фантастически перемешаны в нём. Пифагорейская система занятий состояла из трёх разделов: учения о числах – арифметике, учения о фигурах – геометрии, учения о строении Вселенной – астрономии. Музыка, гармония и числа были неразрывно связаны в учении Пифагорейцев. Математика и числовая мистика были фантастически перемешаны в нём. 14

Делать то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться; Не делай никогда того, что не знаешь, но научись всему, что следует знать; Не пренебрегай здоровьем своего тела; Приучайся жить просто и без роскоши. Делать то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться; Не делай никогда того, что не знаешь, но научись всему, что следует знать; Не пренебрегай здоровьем своего тела; Приучайся жить просто и без роскоши. 15

Главным пифагорейским символом - символом здоровья и опознавательным знаком – была пентаграмма или пифагорейская звезда – звёздчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника. Главным пифагорейским символом - символом здоровья и опознавательным знаком – была пентаграмма или пифагорейская звезда – звёздчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника. 16

*теорема Пифагора; *теорема о сумме внутренних углов треугольника; *построение правильных многоугольников; открытие несоизмеримых отрезков; *геометрические способы решения квадратных уравнений; *деление чисел на четные и нечетные; *Введение фигурных, совершенных и дружественных чисел; доказательство того, что не является рациональным числом; *создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое. *теорема Пифагора; *теорема о сумме внутренних углов треугольника; *построение правильных многоугольников; открытие несоизмеримых отрезков; *геометрические способы решения квадратных уравнений; *деление чисел на четные и нечетные; *Введение фигурных, совершенных и дружественных чисел; доказательство того, что не является рациональным числом; *создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое. 17

Страсть к музыке и поэзии Пифагор пронёс через всю жизнь. И будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с песен Гомера. Музыка, гармония и числа были неразрывно связаны в учении пифагорейцев. Главный вклад Пифагора в развитие музыки заключался в учении о пропорциях звуков. За основу были взяты струнные инструменты, представлявшие собой доску с натянутыми струнами. В результате многочисленных опытов были найдены определенные числовые выражения(интервальные коэффициенты). Гомер. 18

Изучая явления природы и окружающей жизни, люди везде находили предметы для счета и для числовых отношений. Часто числовые отношения оказывались там, где их существование даже не подразумевалось. «Число – это закон и связь мира, сила, парящая над богами и смертными – учил Пифагор. – Число есть сущность всех вещей». С числами связывались разные приметы. Одни числа считались символами злого, а другие доброго. Обоготворяя числа, пифагорейцы много времени уделяли их изучению, отысканию новых свойств и связей между ними. Эта работа привела их к одному из крупнейших открытий древности – к открытию несоизмеримых отрезков. Большое внимание уделяли простым числам, делимости чисел. Изучая явления природы и окружающей жизни, люди везде находили предметы для счета и для числовых отношений. Часто числовые отношения оказывались там, где их существование даже не подразумевалось. «Число – это закон и связь мира, сила, парящая над богами и смертными – учил Пифагор. – Число есть сущность всех вещей». С числами связывались разные приметы. Одни числа считались символами злого, а другие доброго. Обоготворяя числа, пифагорейцы много времени уделяли их изучению, отысканию новых свойств и связей между ними. Эта работа привела их к одному из крупнейших открытий древности – к открытию несоизмеримых отрезков. Большое внимание уделяли простым числам, делимости чисел. 19

20

В школе Пифагора геометрия впервые оформляется в самостоятельную научную дисциплину. Именно Пифагор и его ученики первыми стали изучать геометрию систематически – как теоретическое учение о свойствах абстрактных геометрических фигур, а не как сборник прикладных рецептов по землемерию. Важнейшей научной заслугой Пифагора считается систематическое введение доказательства в математику, и, прежде всего в геометрию. После смерти Пифагора его ученики окружили имя своего учителя массой легенд. И теперь трудно установить, что сделал Пифагор сам, что позаимствовал у других. Пифагор говорил : «Числа правят миром через свойства геометрических фигур» В школе Пифагора геометрия впервые оформляется в самостоятельную научную дисциплину. Именно Пифагор и его ученики первыми стали изучать геометрию систематически – как теоретическое учение о свойствах абстрактных геометрических фигур, а не как сборник прикладных рецептов по землемерию. Важнейшей научной заслугой Пифагора считается систематическое введение доказательства в математику, и, прежде всего в геометрию. После смерти Пифагора его ученики окружили имя своего учителя массой легенд. И теперь трудно установить, что сделал Пифагор сам, что позаимствовал у других. Пифагор говорил : «Числа правят миром через свойства геометрических фигур» 21

Пифагор- это не только великий математик, но и великий мыслитель своего времени. Вот некоторые его философские высказывания: Не садись на хлебную меру (т. е. не живи праздно). По торной дороге не ходи (т. е. следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих). Ласточек в доме не держи (т. е. не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык). Будь с тем, кто ношу взваливает, не будь с тем, кто ношу сваливает (т. е. поощряй людей не к праздности, а к добродетели, к труду). Мысль превыше всего между людьми на земле. Пифагор- это не только великий математик, но и великий мыслитель своего времени. Вот некоторые его философские высказывания: Не садись на хлебную меру (т. е. не живи праздно). По торной дороге не ходи (т. е. следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих). Ласточек в доме не держи (т. е. не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык). Будь с тем, кто ношу взваливает, не будь с тем, кто ношу сваливает (т. е. поощряй людей не к праздности, а к добродетели, к труду). Мысль превыше всего между людьми на земле. Пифагор. Гравюра из старинной книги. 22

Все больше и больше учеников у Пифагора. В «Союзе дружбы» царит дисциплина, послушание, слово учителя – все. «Союз дружбы» становится политическим союзом единомышленников, занимающихся не только наукой, но и мечтающих о власти. И они добиваются этого. Власть над городом в их руках. Но пифагорейцы стремятся установить такой же «порядок», такую же «гармонию» и в других городах. Это им также удается. Но идет время, и в самом Кротоне зреет недовольство правящей знатью и союзом пифагорейцев. Появляются недовольные и среди членов союза. Многие требуют изгнания пифагорейцев. Пифагор покидает город. В эту же ночь разгневанная толпа народа – рыбаки, ремесленники, городская беднота – окружают дом Милона, где собрались пифагорейцы и уничтожают их. Через 30 лет союз распался. Все больше и больше учеников у Пифагора. В «Союзе дружбы» царит дисциплина, послушание, слово учителя – все. «Союз дружбы» становится политическим союзом единомышленников, занимающихся не только наукой, но и мечтающих о власти. И они добиваются этого. Власть над городом в их руках. Но пифагорейцы стремятся установить такой же «порядок», такую же «гармонию» и в других городах. Это им также удается. Но идет время, и в самом Кротоне зреет недовольство правящей знатью и союзом пифагорейцев. Появляются недовольные и среди членов союза. Многие требуют изгнания пифагорейцев. Пифагор покидает город. В эту же ночь разгневанная толпа народа – рыбаки, ремесленники, городская беднота – окружают дом Милона, где собрались пифагорейцы и уничтожают их. Через 30 лет союз распался. 23

Когда был подожжён дом Милона, где собрались пифагорейцы, когда стали рушиться подпорки и перекрытия, державшие крышу, Пифагор в задумчивости сидел в центре большой залы. Великий мудрец и не помышлял сделать хоть одно движение к своему спасению. Тогда ученики Пифагора бросились в огонь и проложили в нем дорогу учителю, чтобы он по их телам, как по мосту, вышел из объятого пламенем дома. Пифагора спасли, но ценой жизней его единомышленников. Оставшись один, Пифагор так затосковал, что удалился из города и там лишил себя жизни. Жизнь без продолжателей учения была для Пифагора лишена смысла. 24

25

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. 26

Суть истины вся в том, Что нам она – навечно, и через столько лет для нас, как для него, бесспорна, безупречна… В настоящее время все согласны с тем, что эта теорема не была открыта Пифагором. Она была известна еще задолго до него. Ее знали в Китае, Вавилонии, Египте. Вернее, не ее, а частные случаи. Однако полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство. 27

28

29 Евклид. Гравюра на меди. Примерно XVIII в.

30 Чертёж к теореме Пифагора в средневековой арабской рукописи

31

Если дан нам треугольник И притом с прямым углом То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим И таким простым путем К результату мы придём. Если дан нам треугольник И притом с прямым углом То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим И таким простым путем К результату мы придём. 32

Историческое местодата 1Древний Китай (математическая книга Чу-пей) ~2400 г. до н. э. 2Древний Египет (гарпедонапты или "натягиватели веревок") 2300 г. до н. э. 3Вавилон (Хаммураби )2000 г. до н. э. 4Древняя Индия (сборник Сульвасутра )600 г. до н. э. 5Пифагор570 г. до н. э. 33 Хронология развития теоремы до Пифагора:

Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: " Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4". Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: " Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4". 34

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3² + 4² = 5² было известно египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея) По мнению Кантора "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3² + 4² = 5² было известно египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея) По мнению Кантора "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. 35

Несколько больше было известно о теореме Пифагора вавилонянам. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т.е. к 2000 году до нашей эры, приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника; отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях Несколько больше было известно о теореме Пифагора вавилонянам. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т.е. к 2000 году до нашей эры, приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника; отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях 36

В самом древнем индийском геометрическом сборнике «Сульвасутра» («Правила верёвки», 600 год до н.э.), представляющем собой своеобразную инструкцию по сооружению алтарей в храмах, даются правила построения прямых углов при помощи верёвки с узлами, расстояния между которыми равны 15, 36 и 39 падас (мера длины). 37

Насчитывается более 500 доказательств теоремы. Благодаря такому количеству доказательств, теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса, как теорема с наибольшим количеством доказательств. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по- видимому, далеко не исчерпана. Насчитывается более 500 доказательств теоремы. Благодаря такому количеству доказательств, теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса, как теорема с наибольшим количеством доказательств. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по- видимому, далеко не исчерпана. 38

Доказательство 1. (древнекитайское) На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a+b, а внутренний – квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе. (a + b) 2 = 4ab/ 2 + c 2 a 2 + 2ab + b 2 = 2ab + c 2 или a 2 + b 2 = c 2 Доказательство 1. (древнекитайское) На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a+b, а внутренний – квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе. (a + b) 2 = 4ab/ 2 + c 2 a 2 + 2ab + b 2 = 2ab + c 2 или a 2 + b 2 = c 2 39

Дано: ABC-прямоугольный треугольник Доказать: Доказательство: 1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E. 2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников: 3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна: 4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим: Дано: ABC-прямоугольный треугольник Доказать: Доказательство: 1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E. 2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников: 3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна: 4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим: 40

Пусть АВСD квадрат, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника АВЕ (АВ = с, ВЕ = а, АЕ = b); Пусть СК ВЕ = а, DL CK, AM DL ΔABE = BCK = CDL = AMD, значит KL = LM = ME = EK = a-b. c 2 = 4ab/ 2 + (a – b) 2 c 2 = 2ab + a 2 – 2ab +b 2 c 2 = a 2 + b 2 Пусть АВСD квадрат, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника АВЕ (АВ = с, ВЕ = а, АЕ = b); Пусть СК ВЕ = а, DL CK, AM DL ΔABE = BCK = CDL = AMD, значит KL = LM = ME = EK = a-b. c 2 = 4ab/ 2 + (a – b) 2 c 2 = 2ab + a 2 – 2ab +b 2 c 2 = a 2 + b 2 41

Это доказательство получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Это доказательство получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. 42

Квадрат со стороной (a+b), можно разбить на части либо как на рисунке а), либо как на рисунке b). Ясно, что треугольники на обоих рисунках одинаковы. А если от равных (площадей) отнять равные, то и останутся равные. Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали лишь одним словом: Смотри! Квадрат со стороной (a+b), можно разбить на части либо как на рисунке а), либо как на рисунке b). Ясно, что треугольники на обоих рисунках одинаковы. А если от равных (площадей) отнять равные, то и останутся равные. Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали лишь одним словом: Смотри! 43

В течение двух тысячелетий наиболее распространенным доказательством теоремы Пифагора было придуманное Евклидом. Евклид опускал высоту СН из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит достроенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах. В течение двух тысячелетий наиболее распространенным доказательством теоремы Пифагора было придуманное Евклидом. Евклид опускал высоту СН из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит достроенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах. 44

45

46

47

48

Почтовая марка по случаю переименования острова Самос в остров Пифагорейон. На марке надпись: « т.Пифагора. Эллас. 350 драхи». 49

50

Над озером тихим С полфута размером Высился лотоса цвет. Он рос одиноко, И ветер порывом Отнёс его в сторону. Нет Боле цветка над водой. Нашёл же рыбак его Ранней весною В двух футах от места, где рос. Итак, предложу я вопрос: Как озера вода здесь глубока? Над озером тихим С полфута размером Высился лотоса цвет. Он рос одиноко, И ветер порывом Отнёс его в сторону. Нет Боле цветка над водой. Нашёл же рыбак его Ранней весною В двух футах от места, где рос. Итак, предложу я вопрос: Как озера вода здесь глубока? 51

Решение. Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда AD = AB = Х + 0,5. Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB 2 – AC 2 = BC 2, (Х + 0,5) 2 – Х 2 = 2 2, Х 2 + Х + 0,25 – Х 2 = 4, Х = 3,75. Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута. 3, 75 0,3 = 1,125 (м) Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м. 52

53

Решение. Пусть CD – высота ствола. BD = АВ По теореме Пифагора имеем АВ = 5. CD = CB + BD, CD = =8. Ответ: 8 футов. 54

На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба? 55

Итак, в треугольнике АDВ: АВ 2 =ВD 2 +АD 2 АВ 2 =30 2 +Х 2 АВ 2 =900+Х 2 ; в треугольнике АЕС: АС 2 = СЕ 2 +АЕ 2 АС 2 =20 2 +(50 – Х) 2 АС 2 = – 100Х+Х 2 АС 2 =2900 – 100Х+Х 2. Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одинаковое время. Поэтому АВ 2 =АС 2, 900+Х 2 =2900 – 100Х+Х 2, 100Х=2000, Х=20, АD=20. Значит, рыба была на расстоянии 20 локтей от большой пальмы. Ответ: 20 локтей. 56

57

58

59

Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев к ещё одной «вечной» проблеме теоретической арифметики (теории чисел) Начнем с задачи, которую в современных терминах можно сформулировать так: решить в натуральных числах неопределенное уравнение а 2 +b 2 =c 2. Сегодня эта задача именуется задачей Пифагора, а её решения тройки натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению (а 2 +b 2 =c 2 ) называются пифагоровыми тройками. Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев к ещё одной «вечной» проблеме теоретической арифметики (теории чисел) Начнем с задачи, которую в современных терминах можно сформулировать так: решить в натуральных числах неопределенное уравнение а 2 +b 2 =c 2. Сегодня эта задача именуется задачей Пифагора, а её решения тройки натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению (а 2 +b 2 =c 2 ) называются пифагоровыми тройками. 60

а b c Пифагоровы числа обладают рядом интересных особенностей, которые мы перечислим без доказательств: Один из «катетов» должен быть кратным трём. Один из «катетов» должен быть кратным четырём. Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти. Пифагоровы числа обладают рядом интересных особенностей, которые мы перечислим без доказательств: Один из «катетов» должен быть кратным трём. Один из «катетов» должен быть кратным четырём. Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти.

Древневавилонский клинописный текст, содержащий 15 наборов пифагоровых троек, среди которых (четвёртая строка) есть тройка 12709, 13500, 18541: = Нью-Йорк. Плимптоновский фонд библиотеки Колумбийского университета. Древневавилонский клинописный текст, содержащий 15 наборов пифагоровых троек, среди которых (четвёртая строка) есть тройка 12709, 13500, 18541: = Нью-Йорк. Плимптоновский фонд библиотеки Колумбийского университета. 62

И тем не менее вопрос об общем решении уравнения (а 2 +b 2 =c 2 ) в натуральных числах был поставлен и решён только пифагорейцами. Общая постановка, какой бы то ни было математической задачи, была чужда как древним египтянам, так и древним вавилонянам. Только с Пифагора начинается становление математики как дедуктивной науки, и одним из первых шагов на этом пути было решение задачи о пифагоровых тройках. Первые решения уравнения (а 2 +b 2 =c 2 ) античная традиция связывает с именами Пифагора и Платона. 63

Эта головоломка очень напоминает танграм. Квадрат тоже делится на 7 частей, только другой формы. Головоломка Пифагора – одна из самых древних. Создатель данной игры – древнегреческий учёный Пифагор. Мы работаем с ней на математическом кружке 64

65

Изобразительные возможности игры достаточно велики. Из деталей можно составлять геометрические фигуры сложной конфигурации, силуэты, напоминающие предметы реальной действительности. Способствует развитию: наглядно-образного мышления, воображения, внимания, комбинаторных способностей. 66

67

68

69

70

71

72

На кровле он стоял высоко И на Самос богатый око С весельем гордым преклонял. «Сколь щедро взыскан я богами! Сколь счастлив я между царями!» Царю Египта он сказал. Памятник Пифагору в Самосе (Скульптор Н. Икарис г.) На кровле он стоял высоко И на Самос богатый око С весельем гордым преклонял. «Сколь щедро взыскан я богами! Сколь счастлив я между царями!» Царю Египта он сказал. Памятник Пифагору в Самосе (Скульптор Н. Икарис г.) 73

Я изучил ряд исторических и математических источников, в том числе информацию в Интернете, и увидел, что теорема Пифагора интересна не только своей историей, но и тем, что она занимает важное место в жизни и науке. Об этом свидетельствуют приведённые в данной работе различные трактовки текста этой теоремы и пути её доказательства. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он дал полноценное научное доказательство этой теоремы. Интересна личность самого учёного, память о котором неслучайно сохранила эта теорема. Пифагор – замечательный оратор, учитель и воспитатель, организатор своей школы, ориентированной на гармонию музыки и чисел, добра и справедливости, на знания и здоровый образ жизни. Он вполне может служить примером для нас, далёких потомков. Данный материал можно использовать на уроках математики при изучении теоремы Пифагора, на занятиях математического кружка, во внеклассной работе по математике. Я изучил ряд исторических и математических источников, в том числе информацию в Интернете, и увидел, что теорема Пифагора интересна не только своей историей, но и тем, что она занимает важное место в жизни и науке. Об этом свидетельствуют приведённые в данной работе различные трактовки текста этой теоремы и пути её доказательства. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он дал полноценное научное доказательство этой теоремы. Интересна личность самого учёного, память о котором неслучайно сохранила эта теорема. Пифагор – замечательный оратор, учитель и воспитатель, организатор своей школы, ориентированной на гармонию музыки и чисел, добра и справедливости, на знания и здоровый образ жизни. Он вполне может служить примером для нас, далёких потомков. Данный материал можно использовать на уроках математики при изучении теоремы Пифагора, на занятиях математического кружка, во внеклассной работе по математике. 74

Литература и Интернет-ресурсы: Г.И. Глейзер История математики в школе VII – VIII классы, пособие для учителей, - М: Просвещение 1982г. И.Я. Демпан, Н.Я. Виленкин «За страницами учебника математики» Пособие для учащихся 5-6 классов, Москва, Просвещение 1989г. З.А.Михайлова, Р.Л.Непомнящая «Вырежи и сложи», Минск «Народная асвета» 1992 Войтикова Н.В. «Теорема Пифагора» курсовая работа, Анжеро-Судженск, 1999г. В. Литцман.Теорема Пифагора, М А.В. Волошинов «Пифагор» М Л. Ф. Пичурин «За страницами учебника алгебры» М В. В. Афанасьев «Формирование творческой активности студентов в процессе решения математических задач» Ярославль Газета «Математика» 17/1996. Газета «Математика» 3/1997. Н. П. Антонов, М. Я. Выгодский, В. В Никитин, А. И. Санкин «Сборник задач по элементарной математике». М Г. В. Дорофеев, М. К. Потапов, Н. Х. Розов «Пособие по математике». М А. И. Щетников Пифагорейское учение о числе и величине. Новосибирск М.С. Атанасян Геометрия 7-9 класс. М: Просвещение,

76