Правильные паркеты. Правильные паркеты. Проект подготовила учащаяся МОУ- СОШ 6 г. Маркса Жильникова Настя Жильникова Настя Руководитель: Мартышова Людмила Иосифовна

Цели и задачи Выяснить из каких правильных выпуклых многоугольников можно составить правильный паркет. Выяснить из каких правильных выпуклых многоугольников можно составить правильный паркет. Рассмотреть все виды правильных паркетов и ответить на вопрос об их количестве. Рассмотреть все виды правильных паркетов и ответить на вопрос об их количестве. Рассмотреть примеры применения правильных многоугольников в природе. Рассмотреть примеры применения правильных многоугольников в природе.

. С паркетами мы часто встречаемся в повседневной жизни: ими застилают полы в домах, стены комнат покрывают различными плитками, часто здания украшают орнаментами. С паркетами мы часто встречаемся в повседневной жизни: ими застилают полы в домах, стены комнат покрывают различными плитками, часто здания украшают орнаментами.

..

..

..

..

..

Первый вопрос, который нас интересует и который легко решается, следующий: из каких правильных выпуклых многоугольников можно составить паркет? Первый вопрос, который нас интересует и который легко решается, следующий: из каких правильных выпуклых многоугольников можно составить паркет?

Сумма углов многоугольника. Сумма углов многоугольника. Пусть плита паркета является правильным n- угольником. Сумма всех углов n-угольника равна 180(n-2), и, так как все углы равны между собой, то каждый из них равен Пусть плита паркета является правильным n- угольником. Сумма всех углов n-угольника равна 180(n-2), и, так как все углы равны между собой, то каждый из них равен 180(n-2)/n. Поскольку в каждой вершине паркета сходится целое число углов, то число 360 должно быть целым кратным числа 180(n-2)/n. Преобразуя отношение этих чисел, получаем 180(n-2)/n. Поскольку в каждой вершине паркета сходится целое число углов, то число 360 должно быть целым кратным числа 180(n-2)/n. Преобразуя отношение этих чисел, получаем 360n/ 180(n-2)= 2n/ n n/ 180(n-2)= 2n/ n-2.

180(n-2), n- количество сторон многоугольника 180(n-2), n- количество сторон многоугольника Убедиться в том, что никакой другой правильный многоугольник паркета не образует, совсем просто. И здесь нам понадобится формула суммы углов много- угольника. Если паркет составлен из Убедиться в том, что никакой другой правильный многоугольник паркета не образует, совсем просто. И здесь нам понадобится формула суммы углов много- угольника. Если паркет составлен из n-угольников, то в каждой вершине паркета будет сходиться многоугольников, где - угол правильного n-угольника. Легко найти, что = 60°, = 90°, = 108°, n-угольников, то в каждой вершине паркета будет сходиться многоугольников, где - угол правильного n-угольника. Легко найти, что = 60°, = 90°, = 108°, =120°. =120°. 360° делится нацело на только при n = 3; 4; ° делится нацело на только при n = 3; 4; 6.

Отсюда ясно, что n-2 может принимать лишь значения 1, 2 или 4; стало быть, для n возможны лишь значения 3, 4, 6. Таким образом, получаются паркеты, составленные из правильных треугольников, квадратов или правильных шестиугольников. Другие паркеты из правильных многоугольников невозможны. Отсюда ясно, что n-2 может принимать лишь значения 1, 2 или 4; стало быть, для n возможны лишь значения 3, 4, 6. Таким образом, получаются паркеты, составленные из правильных треугольников, квадратов или правильных шестиугольников. Другие паркеты из правильных многоугольников невозможны.

ПАРКЕТЫ ЗАМОЩЕНИЯ ПЛОСКОСТИ МНОГОУГОЛЬНИКАМИ Уже пифагорейцам было известно, что имеется только три вида правильных многоугольников, которыми можно полностью замостить плоскость без пробелов и перекрытий, треугольник, квадрат и шестиугольник. Уже пифагорейцам было известно, что имеется только три вида правильных многоугольников, которыми можно полностью замостить плоскость без пробелов и перекрытий, треугольник, квадрат и шестиугольник.

ПАРКЕТЫ ЗАМОЩЕНИЯ ПЛОСКОСТИ МНОГОУГОЛЬНИКАМИ ПАРКЕТЫ ЗАМОЩЕНИЯ ПЛОСКОСТИ МНОГОУГОЛЬНИКАМИ Можно потребовать, чтобы паркет был правильным только «по вершинам», но разрешить использовать разные виды правильных многоугольников. Тогда к трём исходным паркетам добавятся ещё восемь. Можно потребовать, чтобы паркет был правильным только «по вершинам», но разрешить использовать разные виды правильных многоугольников. Тогда к трём исходным паркетам добавятся ещё восемь.

.

Паркеты из разных правильных многоугольников. Сначала выясним, какое количество различных правильных многоугольников (с одинаковыми длинами сторон) может находиться вокруг каждой точки. Величина угла правильного многоугольника должна находиться в интервале от 60° до 180° (не включая); следовательно, число многоугольников, находящихся в окрестности точки, должно быть больше 2 (360°/180°) и не может превышать 6 (360°/60°). Сначала выясним, какое количество различных правильных многоугольников (с одинаковыми длинами сторон) может находиться вокруг каждой точки. Величина угла правильного многоугольника должна находиться в интервале от 60° до 180° (не включая); следовательно, число многоугольников, находящихся в окрестности точки, должно быть больше 2 (360°/180°) и не может превышать 6 (360°/60°).

Паркеты из разных правильных многоугольников. Можно показать, что существуют следующие способы уложить паркет комбинациями правильных многоугольников: (3,12,12); (4,6,12); (6,6,6); (3,3,6,6) - два варианта паркета; (3,4,4,6) - четыре варианта; (3,3,3,4,4) - четыре варианта; (3,3,3,3,6); (3,3,3,3,3,3) (цифры в скобках - обозначения многоугольников, сходящихся в каждой вершине: 3 - правильный треугольник, 4 - квадрат, 6 - правильный шестиугольник, 12 - правильный двенадцатиугольник). Можно показать, что существуют следующие способы уложить паркет комбинациями правильных многоугольников: (3,12,12); (4,6,12); (6,6,6); (3,3,6,6) - два варианта паркета; (3,4,4,6) - четыре варианта; (3,3,3,4,4) - четыре варианта; (3,3,3,3,6); (3,3,3,3,3,3) (цифры в скобках - обозначения многоугольников, сходящихся в каждой вершине: 3 - правильный треугольник, 4 - квадрат, 6 - правильный шестиугольник, 12 - правильный двенадцатиугольник).

Покрытия плоскости правильными многоугольниками отвечают следующим требованиям: 1 Плоскость покрыта правильными многоугольниками сплошь, без просветов и двойных покрытий, т.е. два многоугольника покрытия либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо совсем не имеют общих точек. Такое покрытие называется паркетом. 1 Плоскость покрыта правильными многоугольниками сплошь, без просветов и двойных покрытий, т.е. два многоугольника покрытия либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо совсем не имеют общих точек. Такое покрытие называется паркетом. 2 Вокруг всех вершин правильные многоугольники расположены одним и тем же способом, т.е. вокруг всех вершин в одном и том же порядке следуют многоугольники одних и тех же наименований. 2 Вокруг всех вершин правильные многоугольники расположены одним и тем же способом, т.е. вокруг всех вершин в одном и том же порядке следуют многоугольники одних и тех же наименований. Например, если вокруг одной вершины многоугольники расположены в последовательности: треугольник – квадрат – шестиугольник – квадрат, то и вокруг всякой другой вершины того же покрытия многоугольники расположены именно в этой же последовательности. Например, если вокруг одной вершины многоугольники расположены в последовательности: треугольник – квадрат – шестиугольник – квадрат, то и вокруг всякой другой вершины того же покрытия многоугольники расположены именно в этой же последовательности.

Правильный паркет Таким образом, паркет можно наложить на себя так, что любая заданная его вершина наложится на любую другую наперёд заданную вершину. Такой паркет называется правильным.

Сколько же существует правильных паркетов и как они устроены? Разобьем все правильные паркеты на группы по количеству различных правильных многоугольников, входящих в состав паркета Разобьем все правильные паркеты на группы по количеству различных правильных многоугольников, входящих в состав паркета 1.а). Шестиугольники 1.а). Шестиугольники б). Квадраты б). Квадраты в). Треугольники в). Треугольники 2.а). Квадраты и треугольники 2.а). Квадраты и треугольники б). Квадраты и восьмиугольники б). Квадраты и восьмиугольники в). Треугольники и шестиугольники в). Треугольники и шестиугольники г).Треугольники и двенадцатиугольники 3.а). Квадраты, шестиугольники и двенадцатиугольники г).Треугольники и двенадцатиугольники 3.а). Квадраты, шестиугольники и двенадцатиугольники б). Квадраты, шестиугольники и треугольники б). Квадраты, шестиугольники и треугольники

Правильные паркеты, составленные из одного правильного многоугольника Группа1 Группа1 а). Шестиугольники а). Шестиугольники б). Квадраты б). Квадраты в). Треугольники в). Треугольники

1а. Покрытие, состоящее из правильных шестиугольников. 1а. Покрытие, состоящее из правильных шестиугольников.

1б. Паркет, состоящий только из квадратов 1б. Паркет, состоящий только из квадратов.

1в. Паркет, состоящий из одних треугольников.

Правильные паркеты, составленные из двух правильных многоугольников Группа 2 Группа 2 а). Квадраты и треугольники б). Квадраты и восьмиугольники в). Треугольники и шестиугольники г).Треугольники и двенадцатиугольники

2а. Паркеты, состоящие из квадратов и треугольников. Вид I. Расположение многоугольников вокруг вершины: треугольник – треугольник - треугольник – квадрат – квадрат Расположение многоугольников вокруг вершины: треугольник – треугольник - треугольник – квадрат – квадрат

2а. Вид II. Паркеты, состоящие из квадратов и треугольников треугольник– треугольник – квадрат – треугольник - квадрат треугольник– треугольник – квадрат – треугольник - квадрат Расположение многоугольников вокруг вершины: Расположение многоугольников вокруг вершины:

2 б. Паркет, состоящий из квадратов и восьмиугольников 2 б. Паркет, состоящий из квадратов и восьмиугольников

2в. Паркет, состоящий из треугольников и шестиугольников. Вид I и вид II.

Правильные паркеты, составленные из трёх правильных многоугольников Группа3 Группа3 а). Квадраты, шестиугольники и двенадцатиугольники а). Квадраты, шестиугольники и двенадцатиугольники б). Квадраты, шестиугольники и треугольники б). Квадраты, шестиугольники и треугольники

2г. Паркет, состоящий из двенадцатиугольников и треугольников

3а.Паркет, состоящий из квадратов, шестиугольников и двенадцатиугольников.

3б. Паркет, состоящий из квадратов, шестиугольников и треугольников Покрытие в виде последовательности: Покрытие в виде последовательности: треугольник – квадрат – шестиугольник - квадрат треугольник – квадрат – шестиугольник - квадрат

Это невозможно : Паркета, состоящего из правильных пятиугольников не существует. Паркета, состоящего из правильных пятиугольников не существует. Не возможны покрытия в виде последовательности: Не возможны покрытия в виде последовательности: 1)треугольник – квадрат – шестиугольник – квадрат; 1)треугольник – квадрат – шестиугольник – квадрат; 2) треугольник – треугольник – квадрат – двенадцатиугольник; 2) треугольник – треугольник – квадрат – двенадцатиугольник; 3) треугольник – квадрат – треугольник – двенадцатиугольник. 3) треугольник – квадрат – треугольник – двенадцатиугольник.

Выводы Обратите внимание на паркеты, которые составлены только из одноимённых правильных многоугольников – равносторонних треугольников, квадратов и правильных шестиугольников. Обратите внимание на паркеты, которые составлены только из одноимённых правильных многоугольников – равносторонних треугольников, квадратов и правильных шестиугольников. Среди этих фигур (если у них все стороны равны) правильный шестиугольник покрывает наибольшую площадь. Среди этих фигур (если у них все стороны равны) правильный шестиугольник покрывает наибольшую площадь. Поэтому если мы хотим, например, разбить бесконечное поле на участки размером в 1 га, чтобы на ограждения ушло как можно меньше материала, то участкам нужно придать форму правильных шестиугольников. Поэтому если мы хотим, например, разбить бесконечное поле на участки размером в 1 га, чтобы на ограждения ушло как можно меньше материала, то участкам нужно придать форму правильных шестиугольников.

. Еще один любопытный факт: оказывается, что разрез пчелиных сот тоже выглядит как плоскость, покрытая правильными шестиугольниками. Пчелы инстинктивно стремятся строить как можно более вместительные соты, чтобы запасти побольше меда. Еще один любопытный факт: оказывается, что разрез пчелиных сот тоже выглядит как плоскость, покрытая правильными шестиугольниками. Пчелы инстинктивно стремятся строить как можно более вместительные соты, чтобы запасти побольше меда.

.

Заключение Итак, рассмотрены все возможные комбинации. Вот такие получились 11 правильных паркетов. Они очень красивы, не правда ли? Какой паркет вам понравился больше всего? Итак, рассмотрены все возможные комбинации. Вот такие получились 11 правильных паркетов. Они очень красивы, не правда ли? Какой паркет вам понравился больше всего?

..

ИсточникиИсточники А.Н. Колмогоров «Паркеты из правильных многоугольников». «Квант» А.Н. Колмогоров «Паркеты из правильных многоугольников». «Квант» Интернет-ресурсы: htt://www. arbuz. uz/v parket. html. Интернет-ресурсы: htt://www. arbuz. uz/v parket. html. virlib.eunnet.net/mif/text/n0399/1.html virlib.eunnet.net/mif/text/n0399/1.html nordww.narod.ru/…/laureat08/1549parket.htm ГК «Янтарная прядь – паркет».Каталог продукции.