Цель История Правильные многогранники Виды правильных многогранников - ТетраэдрТетраэдр - КубКуб - ОктаэдрОктаэдр - ДодекаэдрДодекаэдр - ИкосаэдрИкосаэдр Интересные факты Вывод Источники информации

Цель проекта - знакомство с правильными многогранниками. Знать определение правильного многогранника, отличать их от многогранников, не являющихся правильными, знать виды правильных многогранников.

Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона ( до н. э.) "Тимаус". Поэтому правильные многогранники также называются платоновыми телами (хотя известны они были задолго до Платона). Каждый из правильных многогранников, а всего их пять. Платон ассоциировал с четырьмя "земными" элементами: земля (куб), вода (икосаэдр), огонь (тетраэдр), воздух (октаэдр), а также с "неземным" элементом - небом (додекаэдр).

Правильный многогранник, или Платоново тело это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией. Многогранник называется правильным, если: он выпуклый все его грани являются равными правильными многоугольниками в каждой его вершине сходится одинаковое число граней все его двухгранные углы равны

У грани тетраэдра 3 стороны, к вершинам примыкают 3 ребра, всего – 4 вершин, 6 ребер и 4 грани.

У грани куба 4 стороны, к вершинам примыкают 3 ребра, всего – 8 вершин, 12 ребер и 6 грани.

У грани октаэдра 3 стороны, к вершинам примыкают 4 ребра, всего – 6 вершин, 12 ребер и 8 грани.

У грани додекаэдра 5 стороны, к вершинам примыкают 3 ребра, всего – 20 вершин, 30 ребер и 12 грани.

У грани икосаэдра 3 стороны, к вершинам примыкают 5 ребра, всего – 12 вершин, 30 ребер и 20 грани.

Отметим интересный факт, связанный с гексаэдром (кубом) и октаэдром. Куб имеет 6 граней, 12 ребер и 8 вершин, а октаэдр – 8 граней, 12 ребер и 6 вершин. То есть число граней одного многогранника равно числу вершин другого и наоборот. Как говорят, куб и гексаэдр являются двойственными друг к другу. Это также проявляется в том, что если взять куб и построить многогранник с вершинами в центрах его граней, то, как несложно убедиться, получится октаэдр. Верно и обратное – центры граней октаэдра служат вершинами куба. В этом-то и состоит двойственность октаэдра и куба (рис). Несложно сообразить, что если взять центры граней правильного тетраэдра, то мы вновь получим правильный тетраэдр (рис). Таким образом, тетраэдр двойственен самому себе.

Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней: «эдра» - грань «тетра» - 4 «гекса» - 6 «окта» - 8 «икоса» - 20 «додека» - 12

Знаменитый математик и астроном Кеплер построил модель Солнечной системы как ряд последовательно вписанных и описанных правильных многогранников и сфер. Каков же порядок расположении планет (в соответствии с "требованиями" правильных многогранников) получился у Кеплера? В сферу орбиты Сатурна был вписан куб, в него - сфера орбиты Юпитера; в эту сферу вписался тетраэдр, в него - сфера орбиты Марса; далее: додекаэдр - сфера орбиты Земли - икосаэдр - сфера орбиты Венеры - октаэдр - сфера орбиты Меркурия.

Мы познакомились с правильными многогранниками и научились отличать их от простых многогранников. Изучили их вид и особенности.