Образовательные : рассмотрение всех возможных комбинаций углов в пространстве (угол между двумя прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между двумя плоскостями), решение геометрических задач классическим и координатно-векторным методами; формирование навыков чтения чертежей, умений проводить дополнительные построения и вычисления; Развивающие: формирование умения выполнять обобщение и конкретизацию, развитие качества мышления: гибкость, целенаправленность, рациональность, критичность с учетом индивидуальных особенностей; Воспитательные: Развитие взаимовыручки и взаимопомощи, умение вести культурную дискуссию, умение четко организовывать самостоятельную и индивидуальную работу.

1. Угол между скрещивающимися прямыми. 2. Угол между прямой и плоскостью. 3. Угол между двумя плоскостями. 5. Теорема косинусов 4. Теорема о трех перпендикулярах классическийкоординатно-векторный классическийкоординатно-векторный классическийкоординатно-векторный Кто не знает, в какую гавань он плывет, для того нет попутного ветра. Сенека 6. Нормаль к плоскости

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимися. Точку М можно выбрать произвольным образом. В качестве точки М удобно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых. a b a ba b M m

Углом между прямой и плоскостью, пересе- кающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. перпендикуляр наклонная проекция Н М А

Величина двугранного угла измеряется величиной соответствующего линейного угла.О Величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла.

А В перпендикуляр наклонная проекция TTПС а

а - ? в с Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Уравнение плоскости в пространстве: Нормаль к плоскости Для нахождения координат нормали: Направляющие векторы плоскости

х z y A D C B

- направляющий вектор прямой - нормаль к плоскости

О

1 A B1B1 N 8 N1N1 B A1A1 C C1C Дано: Найти: ABCA 1 B 1 C 1 – прямая призма ABC – равнобедренный прямоугольный треугольник AB =СС 1 = 8 Ответ: 60 0

2 D А В С А1А1 D1D1 С1С1 В1В1 22 О наклонная 1 11 K проекция Дано: Найти: Ответ: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - куб

3 D A B A1A1A1A1 D1D1D1D1 C C1C1C1C1 3 н-я п-р B1B1B1B1 2 M F L K п-я Дано: Найти: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямоуг. парал-д М – середина B 1 C 1 АВ = 3, ВС = 4, СС 1 = 2 4

B C AD3 4 D A B A1A1A1A1 D1D1D1D1 3 B1B1B1B1 4 2 M F L K L2 K 5 Из Δ MKL: Ответ: BDC ~ BKL ( по двум углам)

1 Точка Е – середина ребра ВВ 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Найти угол между прямыми АЕ и СА Основанием прямой призмы АВСА 1 В 1 С 1 является равнобедренный треугольник АВС. АВ = АС = 5, ВС = 8. Высота призмы равна 3. Найти угол между прямой А 1 В и плоскостью ВСС 1. В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 5. На ребре АА 1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА 1 = 2 : 3. Найти угол между плоскостями АВС и ВЕD 1.

B AD C C1C1C1C1 A1A1A1A1 D1D1D1D1 B1B1B1B1 Е F 1 Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб, BE = EB 1. Найти: Решение: 1 Из ACA 1 найдем СА 1 : Проведем через А 1 прямую А 1 F ll AE. Из A 1 B 1 F (B 1 = 90 0 ) найдем А 1 F: Из CBF (B = 90 0 ) найдем CF: Из CA 1 F найдем Ответ:

B A D C C1C1C1C1 A1A1A1A1 D1D1D1D1 B1B1B1B1 Е 1 x z y Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб, BE = EB 1. Найти: Решение: Введем систему координат. Определим координаты точек А, Е, С, А 1 (0;0;0) (1;1;0) (1;0;1/2) (1;1;1) Направляющие векторы прямых: Ответ: 1

2 М С1С1 А В С А1А1 В1В1 Дано: ABCA 1 B 1 C 1 – прямая призма,АВС – равнобедренный АB = АС = 5, ВС = 8, СС 1 = 3. Найти: Решение: Из A 1 В 1 С 1 : ВМ – проекция А 1 В на ( ВСС 1 ) А 1 М ( ВСС 1 ) Т.к. В 1 М = 4, ВВ 1 = 3, то ВМ = Из А 1 ВМ: Ответ:

2 С1С1 А В С А1А1 В1В1 z у х Дано: ABCA 1 B 1 C 1 – прямая призма,АВС – равнобедренный, АB = АС = 5, ВС = 8, СС 1 = 3. Найти: Решение: Введем систему координат. Определим координаты точек А 1, B, С, C 1 3 (0;3;3) (4;0;0) (- 4;0;0) (- 4;0;3) Направляющий вектор А 1 В: Направляющие векторы (ВСС 1 ): Найдем координаты нормали Ответ:

3 D D1D1 А А1А1 В В1В1 С С1С1 Е F K H 1 5 Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – призма, BC = 1, BB 1 = 5, AE : EA 1 = 2:3 Найти: Решение: Проведем ЕН КВ, тогда АН КВ (АН – проекция ЕН) Найдем АК: Из АКВ (А=90 0 ) найдем ВК: Найдем высоту АН: Из АНЕ : Ответ:

3 D D1D1 А А1А1 В В1В1 С С1С1 Е F 1 5 z x y Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – призма, BC = 1, BB 1 = 5, AE : EA 1 = 2:3 Найти: Решение: Введем систему координат. Определим координаты точек A, B, С, E, D 1 (0;0;0) (0;1;2) (1;1;5) (1;0;0) (0;1;0) Направляющие векторы плоскостей: Найдем координаты нормалей: 1)2) Таким образом Ответ:

Сущность геометрии в ее методе, где строгость вывода соединяется с наглядными представлениями. А.Д. Александров АВ С D Е F А1А1 В1В1 С1С1 D1D1 Е1Е1 F1F1 О О1О С1С1 АВ С А1А1 В1В1 D D1D1 А А1А1 В В1В1 С С1С клк - в кл к - в

А В С D Е F А1А1 В1В1 С1С1 D1D1 Е1Е1 F1F1 О О1О1 Дано: ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 – правильная призма, BC = 1, BB 1 = 1. Найти: Решение: Построим ( AA 1 D ) || ( BB 1 C ),AO 1 || BC 1 Из АВВ 1 : Из АА 1 О 1 : Ответ:

А В С D Е F А1А1 В1В1 С1С1 D1D1 Е1Е1 F1F1 О О1О1 Дано: ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 – правильная призма, BC = 1, BB 1 = 1. Найти: Решение: Введем систему координат. z x y Определим координаты точек А, B, B 1, C 1 (0;0;0)(1;0;0) (1;0;1) Направляющие векторы прямых: Ответ:

М С1С1 А В С А1А1 В1В1 Дано: ABCA 1 B 1 C 1 – правильная призма, BC = 1, BB 1 = 1. Найти: Решение: В А 1 В 1 С 1 проведем В 1 М А 1 С 1 АМ – проекция АВ 1 Из АВВ 1 : Из АА 1 М: Из АМВ 1 : Ответ:

С1С1 А В С А1А1 В1В1 Дано: ABCA 1 B 1 C 1 – правильная призма, BC = 1, BB 1 = 1. Найти: Решение: z x y Введем систему координат. Определим координаты точек А, B 1, A 1, C (0;1/2;0) (0;1/2;1) (0;-1/2;0) Направляющий вектор АВ 1 : Направляющие векторы (AA 1 C): Найдем координаты нормали Ответ:

3 D D1D1 А А1А1 В В1В1 С С1С О Дано: Найти: Решение: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – параллелепипед, АВ = BC = 6, АА 1 = 4. ( АВС ) || ( А 1 В 1 С 1 ) ( АВС ) ( А 1 В 1 С 1 ) = АС D 1 O AC DO AC Из ABD : Из DOD 1 : Ответ:

3 D D1D1 А А1А1 В В1В1 С С1С О Дано: Найти: Решение: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – параллелепипед, АВ = BC = 6, АА 1 = 4. Введем систему координат. z x y Определим координаты точек: А, D, C, D 1 (0;0;0) (6;0;0) (0;6;0) (0;0;4) Направляющие векторы (ADC)и (AD 1 C): Найдем координаты нормалей : 1)2) Таким образом Ответ:

1.Точка М – середина стороны ВС основания АВС правильной призмы Боковое ребро призмы равно а сторона основания равна 12.Найти угол между прямой и плоскостью боковой грани В правильной пирамиде с основанием АВС известны ребра и Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой АМ, где М – точка пересечения медиан грани 2.

В А С С1С1 В1В1 А1А М α К Точка М – середина стороны ВС основания АВС правильной призмы Боковое ребро призмы равно а сторона основания равна 12.Найти угол между прямой и плоскостью боковой грани Наклонная Проекция 1. Искомый угол найдем из 2. МК найдем из 3. МВ 1 найдем из КМ В ? ВМ В1В1 ? 6 4. Таким образом: Ответ:

В правильной пирамиде с основанием АВС известны ребра и Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой АМ, где М – точка пересечения медиан грани А С В S N М H K 17 Пусть SN – медиана H, K – проекции точек S и M на основание АBC 1. Искомый угол найдем из 2. Из 3. По свойству медианы и из подобия 4. Таким образом: Ответ: найдем AN: найдем МК, а затем АК: затем высоту SH:

1) Как определить угол между скрещивающимися прямыми классическим или координатно-векторным методом ? Ответьте на вопросы 2) Как определить угол между прямой и плоскостью классическим или координатно-векторным методом ? 3) Как определить угол между двумя плоскостями классическим или координатно-векторным методом ?

Дополнительная задача: На шаровой поверхности лежат все вершины треугольника АВС. Точка О – центр шара. Найти угол между прямой АО и плоскостью треугольника, если АВ = АС = 10, ВС = 12, АО = 12,5. § 12 (конспект), тренировочные работы ЕГЭ 2013 (МИОО) 6, 7,11

Притча Что ты делал целый день? Первый с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. Второй ответил, что добросовестно выполнял свою работу. Третий ответил, что принимал участие в строительстве храма.