Логарифмические диковинки Выполнили работу Ученицы 11 «а» Мухадинова Джамиля Сергеева Алиса Сергеева Алиса Учитель математики: Грянкина А.А.

Даже изящные искусства питаются ею. Разве музыкальная гамма не есть Набор передовых логарифмов? Из Оды экспоненте Музыканты редко увлекаются математикой. Большинство из них питают к этой науке чувство уважения. Между тем, музыканты – даже те, которые не проверяют подобно Сальери у Пушкина алгеброй гармонию, встречаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими странными вещами, как логарифмы.

Определение: Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а чтобы получить число b. alog a b = b Формулу аlog a b= b ( где b>0, а>0 и а1) называют основным логарифмическим тождеством.

Логарифмы и их свойства. При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции: При любом а>0 (а1) и любых положительных х и y выполнены равенства: Log a 1=0 Log a A=1 Log a XY=log a X+ log a Y Log a X/Y=log a X- log a Y Log a X^p= P log a X. Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы. Докажем, например, формулу перехода от одного основания логарифма к другому основанию: Loga x = logb x / logb a

Диковинка 1 Вот вы когда-нибудь слыхали о логарифмической спирали? Закручены по ней рога козлов и не найдете вы на них нигде узлов. В подсолнухе семечки тоже закручены, и паука все плетенья заучены.

Моллюсков многих и улиток ракушки тоже все завиты. И как сказал поэт великий Гете: Вы совершеннее строенья не найдете!

И эту спираль мы повсюду встречаем: к примеру, ножи в механизме вращая. В изгибе трубы мы ее обнаружим – турбины тогда максимально послужат!

Наверняка, и о том вы не знали, галактики тоже кружат по спирали!

Логарифмическая спираль Логарифмическая спираль – это плоская трансцендентная кривая, уравнение которой в полярных координатах имеет вид p=a φ, a>0.

Диковинка 2 Логарифмические таблицы Если вычислительные потребности практической жизни и технического обихода вполне обеспечиваются трех и четырехзначными таблицами то с другой стороны, к услугам теоретического исследователя имеются таблицы и с гораздо большим числом знаков, чем даже 14- значные логарифмы. Вообще говоря, логарифм в большинстве случаев есть число иррациональное и не может быть точно выражен никаким числом цифр; логарифмы большинства чисел, сколько бы знаков ни брать, выражаются лишь приближенно, тем точней, чем больше цифр в их мантиссе.

Для научных работ оказывается иногда недостаточной точность 14- значных логарифмов, но среди пятисот всевозможных образов логарифмических таблиц вышедших в свет, со времени их изобретения, исследователь всегда найдет такие, которые его удовлетворяют. Например, 20- значные логарифмы чисел от 2 до1200, изданные во Франции Кале.

Логарифмические таблицы Для еще более ограниченной группы чисел имеются таблицы логарифмов с огромным числом десятичных знаков - настоящие логарифмические диковинки о существование которых не подозревают многие математики. Вот эти логарифмы – исполины все они - не десятичные, а натуральные: (натуральными называются логарифмы, вычисленные не при основании 10, а при основании 2,718…, о котором у вас еще будет речь впереди. 48– значные таблицы Вольфрама для чисел до 10000; 61-значные таблицы Шарпа; 102-значные таблицы Паркхерста. Логарифмическая сверхдиковинка: 260-значные логарифмы Адамса.

Диковинка 3 Счетная линейка К логарифмическим диковинкам можно было бы с полным основанием отнести и счетную линейку – «деревянные логарифмы», - если бы этот остроумный прибор не сделался благодаря своему удобству столь же обычным, счетным орудием для техников, как десятикосточковые счеты для конторских работников. Привычка угашает чувство изумления перед прибором, работающим по принципу логарифмов и, тем не менее, не требующим от пользующихся им даже знания того, что такое логарифм.

Диковинка 4 Головоломки Любое натуральное число можно изобразить при помощи трёх двоек n= - loq2 (loq2 …2) Например: а) 3=- loq2 * (loq2 *(loq2 *2)), так как 2=2 1/8 ; loq2(2 1/8 )=1/8*loq2 2=1/8 - loq2 1/8=3 б) 5= -loq2 *(loq22) Число 10 можно изобразить при помощи одной двойки 10= - -arccos(- 2 ) ! ! Замечание: В этих утверждениях нельзя пропустить слово «натуральное». Т. к. множество всех чисел, которые могут быть изображены при помощи одного числа(или конечного кол-ва чисел) является счетными. А множество действительных чисел, несчетно.

Головоломки Вычислить log y log x Так как logyx=1/logxy,то logx y logyx=logxy 1/logxy=1 Вывод: logxy logyx=1, при 0 x1, 0 y1 Доказать, что если a и b – длины катетов, с- гипотенуза прямоугольного треугольника, logb+ca+logc-ba=2logb+ca logc-ba Доказательство: Приведем все логарифмы к основанию:(b+c) logb+ca+logb+ca/log(b+c)(c-b)= 2logb+ca log(b+c)a /log(b+c)(c-b)=log(b+c)a=(1+1/log(b+c)(c-b)).

Диковинка 5 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ КОМЕДИЯ. «Доказательство» неравенства 2>3. В доказательстве участвует логарифмирование. «Комедия» начинается с неравенства ¼ > 1/8, бесспорно правильного. Затем следует преобразование: ¼^2 > 1/8^3, также не внушающему сомнения. Большому числу соответствует больший логарифм, значит, 2lg ½ >3 lg ½. После сокращения на lg ½ имеем 2>3. в чём ошибка этого доказательства? Решение: Ошибка в том, что при сокращении на lg ½ не был изменён знак неравенства ( > на < ); между тем необходимо это было сделать, так как lg ½ есть число отрицательное.

Соперники логарифмов Ранее изобретения логарифмов потребность в ускорении выкладок породила таблицы иного рода, с помощью которых действие умножения заменяется не сложением, а вычитанием. Устройство этих таблиц основано на тождестве: аb=(a+b)2/4 – (a-b)2/4, в верности которого легко убедиться, раскрыв скобки.

Соперники логарифмов Имея готовые четверти квадратов, можно находить произведение двух чисел, не производя умножения, а вычитая из четверти квадрата суммы этих чисел четверть, квадрата их разности. Те же таблицы облегчают возвышение в квадрат и извлечение квадратного квадрата, а в соединение с таблицей обратных чисел упрощают и действие деления. Их преимущество перед табличными логарифмическими состоит в том, что с помощью их получаются результаты точные, а не приближенные. Зато они уступают логарифмическим в ряде других пунктов, практически гораздо более важных. В то время как таблицы четвертей квадратов позволяют перемножать только два числа, логарифмы дают возможность находить сразу произведение любого числа множителей, а кроме того – возвышать в любую степень и извлекать корни с любым показателем (целым или дробным).

Соперники логарифмов В 1856 году во Франции вышли таблицы под заглавием:« Таблица квадратов чисел от 1 до 100 миллионов, с помощью которой находят точное произведение чисел весьма простым приемом, более удобным, чем с помощью логарифмов. Составил Александр Коссар. Другим, более молодым соперником логарифмов являются вычислительные таблицы, имеющиеся во многих технических справочниках. Это – сводные таблицы, содержащие следующие графы: квадраты чисел, кубы, квадратные корни, кубические корни, обратные числа, длины окружности и площади кругов для чисел от 2 до Для многих технических расчетов таблицы эти очень удобны, однако они не всегда достаточны; логарифмические имеют гораздо более обширную область применения.