Многочлены с одной переменной Нам уравненья,как поэмы, И полином поддерживает дух. Бином Ньютона, будто песня, А формулы ласкают слух Нам уравненья,как поэмы, И полином поддерживает дух. Бином Ньютона, будто песня, А формулы ласкают слух

Многочлены. Степень многочлена. Многочлен с одной переменной х – это выражение вида f = a 0 x n + a 1 x n a n -1 x +a n где n –любое натуральное число или ноль, а коэффициенты a 0 a 1 a n – произвольные числа. Степень многочлена – наибольший из показателей степени одночленов, входящих в канонический вид. Deg f (англ. Degree – степень) Deg f = n наиб Пример: deg(2x-1+3x²)=2 deg(x³+x+2)=3

Действия с многочленами СложениеВычитаниеУмножениеДелениеСложениеВычитаниеУмножениеДеление Свойства действий с многочленами: f+g = g+f, fg = gf (f+g)+h = f+(g+h), (fg)h = f(gh) (f+g)h = fg+gh Свойства действий с многочленами: f+g = g+f, fg = gf (f+g)+h = f+(g+h), (fg)h = f(gh) (f+g)h = fg+gh

Произведение многочленов Если произведение двух многочленов равно нулевому многочлену, то хотя бы один из многочленов нулевой f × g = 0, т.е. f =0 или g=0. Степень произведения двух ненулевых многочленов равна сумме степеней этих многочленов deg (f × g) = deg f + deg g (f, g 0) Свободный член произведения двух многочленов равен произведению их свободных членов

Техника умножения многочленов (2x 5 -x 2 -x+1)(3x 4 +x 3 -2)= =6x 9 +2x 8 -3x 6 -8x 5 +2x 4 +x 3 +2x 2 +2x

Деление многочленов Деление многочленов без остатка Деление многочленов с остатком f = g. q + r где g – делитель q – частное r – остаток Деление многочленов без остатка Деление многочленов с остатком f = g. q + r где g – делитель q – частное r – остаток 4х 5 – 3х 3 + х – 1 2х 2 – 3 4х 5 – 6х 3 2х 3 + 1,5х 3х 3 + х – 1 3х 3 – 4,5 х 5,5х – 1 (ост.) 4х 5 – 3х 3 + х – 1 = = (2х 2 – 3)( 2х 3 + 1,5х)+ + 5,5х – 1

Значения и корни f=a 0 x n +a 1 x n a n-1 x+a n с – некоторое число, f(c)=a 0 с n +a 1 с n a n-1 с+a n. Замечания: 1.f(0) = a n 2.f(1) = a 0 + a a n-1 + a n Определение: Число C называется корнем многочлена f, если f(c)= Пример х³ - 6х + 5 = 0 5: ±1; ±5 Схема Горнера

Целые корни Теорема 1. Если целое число k - корень многочлена с целыми коэффициентами, то k - делитель его свободного члена. Теорема 2. Если целое число k - корень многочлена f с целыми коэффициентами, то k-1 - делитель числа f(1), k+1 - делитель числа f(-1). Пример x 4 - x 3 - 5x 2 + 3x+2 = 0 2: ±1, ±2 f(1) = 0 f(-2) = 0

Дробные корни Теорема 1. Теорема 1. Если f - многочлен с целыми коэффициентами и значения f(0) и f(1) нечётные числа, то f не имеет целых корней. Теорема 2. Теорема 2. Пусть рациональное число p/q - корень многочлена с целыми коэффициентами, причем эта дробь несократима. Тогда числитель дроби p - делитель свободного члена, а знаменатель q - делитель старшего коэффициента многочлена. 6х х 2 + 8х – 4 = / /361452/368/9

Линейные множители многочлена Теорема Безу: Пусть f – многочлен, с – некоторое число. 1)f делится на двучлен (х – с) тогда и только тогда, когда число с является его корнем 2)Остаток от деления f на (х – с) равен f(c) f = х 4 – х 3 – 5х 2 + 3х + 2 х 4 – х 3 – 5х 2 + 3х + 2 = (х +2)(х –1)(х 2 – 2х – 1) х 2 – 2х – 1 = (х – 1 – 2 0,5 )( х – ,5 ) D = 8 х 1 = 1 – 2 0,5 х 2 = ,5 х 4 – х 3 – 5х 2 + 3х + 2 = (х +2)(х –1)(х –1 – 2 0,5 )( х – ,5 )

Разложение многочлена на множители Многочлен степени, большей или равной 1, называется неприводимым, если его нельзя разложить в произведении многочлена меньшей степени. Для многочлена с целыми коэффициентами существует один специальный прием разложения многочлена на множители - метод неопределенных коэффициентов. Значит { -q=5 {q=-5 { p-1=0 {p=1

Наибольший общий делитель Наибольший общий делитель многочленов - это многочлен наибольшей степени, на который делится каждый из данных многочленов. Пример:Найти НОД Следовательно НОД равен Наименьшее общее кратное – это многочлен наименьшей степени, который делится на эти многочлены

Основная теорема о делимости Основная теорема о делимости. Теорема. Всякий многочлен степени, большей или равной 1, единственным образом раскладывается в произведение неприводимых многочленов. Следствия: 1.f делится на q тогда, когда кратность каждого неприводимого множителя в многочлен f больше или равна кратности этого множителя в многочлен q. 2.Произведение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного многочленов f и q равно произведению этих многочленов: НОД (f,q) × НОК (f,q) = f × q Многочлены f и q называют взаимно простыми, если их НОД = 1.

Бином Ньютона Формулу для степени обычно называют формулой Бинома Ньютона. - это наименьший коэффициент, стоящий в разложении степени при одночлене Пример

Авторы курсовой работы Мальцева Ольга Мальцева Ольга Колесникова Яна Колесникова Яна Богданов Антон Богданов Антон Мальцева Ольга Мальцева Ольга Колесникова Яна Колесникова Яна Богданов Антон Богданов Антон