6 класс Учитель математики: Меркулова Е.И.

«Кто хочет ограничиться настоящим без знания прошлого, тот никогда его не поймет… » Г. Лейбниц.

Большой вклад в изучение признаков делимости внёс Блез Паскаль (1623 – 1662) - французский математик и физик, один из величайших людей 17-ого века. Он нашел алгоритм для нахождения признаков делимости целого числа на другое целое число.

Признак делимости Паскаля: Натуральное число А разделится на натуральное число В только тогда, когда сумма произведений цифр числа А на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число В, делится на число В.

Признаки делимости на 2 Число делится на 2, если его последняя цифра есть число четное или нуль. Например: 1378:2=6, 324:2=162, 2560:2=1280 на 3 Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Например: =15, 15:3=5, то 384:3=128 на 5 Число делится на 5, если его последняя цифра либо нуль, либо 5. Например: 1125:5=245, 230:5=46

Признаки делимости на 9 Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Например: =18, 18:9=2, то 783:9=87 на 10 Число делится на 10, если его последняя цифра нуль. Например:111220:10=11122 на 100 Число делится на 100, если его две последние цифры нуль. Например:11200:100=112

Дополнительные признаки делимости на 4 Число делится на 4, если две его последние цифры – нули или образуют число, делящееся на 4. Например: , 36:4=9, то 936:4=234 на 6 Число делится на 6, если оно в одно время делится на 2 и 3. Например: =18, 18:3=6, 6-четное, то 396:6=66 на 7 Число делится на 7, если модуль разности между числом десятков и удвоенной цифрой единиц делится на 7. Например:119 |11 – 2*9|=7:7=1, 119:7=17

Дополнительные признаки делимости на 8 Число делится на 8, если три последние его цифры – нули или образуют число, делящееся на 8. Например: :8=109, то 1872:8=234 на 11 Число делится на 11, если разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр стоящих на четных местах, делящееся на 11. Например: :11= , =25 и =14, 25-14=11, 11:11=1 на 12 Число делится на 12 в том, и только в том случае если оно одновременно делится на 3 и 4. Например: делится на 3 и 4, а значит и на 12.

Дополнительные признаки делимости на 13 Чтобы узнать делится ли число на 13, необходимо от этого числа без последних трех цифр отнять число из трех последних цифр, если разность делится на 13, то и заданное число делится на 13. Например: =-520:13=-40, 5525:13=425 на 14 Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7. Например: число делится на 2 и на 7, значит, оно делится и на 14. на 15 Чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 5 и на 3, т.е. чтобы оно оканчивалось нулем или пятеркой и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3. Например: – =33, значит, число кратно 3

Кроме представленных признаков можно рассмотреть признаки делимости на 17, 19, 20,23, 25,27,29,30,36,37,39 и 50 и т.д. (правила делимости рассматриваются аналогичными способами, сформулировать самостоятельно)

ПРИМЕНЕНИЕ ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ Задача : Докажите, что делится на 77

ПРИМЕНЕНИЕ ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ Ответ: а 2к -1 делится на а 2 -1, поэтому делится на , но используя формулы сокращенного умножения имеем, что =(43-1)(43+1)=42*44=77*24

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Белл Э. Т. Творцы математики. М.: Просвещение, Глава 5 Паскаль Воробьев КН., Признаки делимости, издательство «Наука», «1001 вопрос и ответ. Большая книга знаний» Москва 2004 «Мир книги» Н.Л.Галицкий. Сборник задач по алгебре 8-9 класс, Москва Просвещение 1995 Математика в школе 1998 год март/апрель 2 Нестандартные уроки математики 5-6 класс, Москва «Школьная пресса» 2004 Внеклассная работа по математике 5-11 классы М.: Айрис – пресс 2007 год Фарков А. В. Оригинальные головоломки с числами. М.: Эксмо, Кен Рассел, Филипп Картер. ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСЫ: