Числа Каталана Автор: Бараковских Катя 10 А МОУ СОШ 1 Свердловская область, Нижнесергинский район, город Михайловск

Числа Катала́на числовая последовательность, встречающаяся в многих задачах комбинаторики. Последовательность названа в честь бельгийского математика Каталана, хотя была известна ещё Л. Эйлеру.

Первые несколько чисел Каталана: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, , , , , , , , , , , , , , , …

n-е число Каталана можно определить одним из следующих способов: Количество разбиений выпуклого (n+2)-угольника на треугольники непересекающимися диагоналями. Количество правильных скобочных структур длины 2n, то есть таких последовательностей из n левых и n правых скобок, в которых количество открывающих скобок равно количеству закрывающих, и в любом префиксе последовательности открывающих скобок не меньше, чем закрывающих. Количество способов соединения 2n точек на окружности n непересекающимися хордами. Количество неизоморфных упорядоченных бинарных деревьев с корнем и n+1 листьями.

Числа Каталана удовлетворяют рекуррентному соотношению:

Производящая функция для чисел Каталана:

Числа Каталана можно выразить через биномиальные коэффициенты: