Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 1 Построение безрисковой бескупонной кривой доходности и кредитных спредов для российского рынка Смирнов С.Н., Здоровенин В.В.

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 2 Часть I Проблема определения бескупонной кривой

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 3 Постановка задачи На основании данных о ценах на рынке облигаций построить гладкую аппроксимацию функции дисконтирования такую, чтобы наблюдаемая цена P k была для каждой облигации была близка к приведенной стоимости: На основании данных о ценах на рынке облигаций построить гладкую аппроксимацию функции дисконтирования такую, чтобы наблюдаемая цена P k была для каждой облигации была близка к приведенной стоимости: где d(t) – коэффициент дисконтирования на срок t, F i,k потоки платежей по купонной облигации k.

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 4 Способы построения кривых бескупонной доходности Статический подход – динамический подход Статический подход – динамический подход Параметрические- непараметрические методы Параметрические- непараметрические методы По однородной группе облигаций – по группе облигаций разного кредитного качества По однородной группе облигаций – по группе облигаций разного кредитного качества

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 5 Различные способы Статические методы – приближение кривой доходности Статические методы – приближение кривой доходности –Параметрические методы (Нельсона-Зигеля, Свенсона) –Непараметрические методы (Васичека-Фонга, синусоидально-экспоненциальные сплайны) Динамические методы Динамические методы –3-факторная модель Васичека с оценкой параметров фильтром Калмана. –Общая афинная модель временной структуры. –Подход, основанный на непосредственной эволюции цен.

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 6 Стохастические модели временной структуры Стандартный подход – моделирование динамики краткосрочной процентной ставки или форвардных ставок. Стандартный подход – моделирование динамики краткосрочной процентной ставки или форвардных ставок. Цены могут быть представлены в виде риск-нейтрального математического ожидания: Цены могут быть представлены в виде риск-нейтрального математического ожидания: - интенсивность дефолтов - Потери при дефолте - премия за ликвидность

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 7 Параметрические методы Свенсона ( 6 параметров) Предполагается, что мгновенная форвардная процентная ставка имеет следующий вид: Предположение о конкретной форме кривой произвольно и экономически не обосновано Нельсона-Зигеля (4 параметра) - частный случай модели Свенсона с

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 8 Непараметрические методы Обычно – сплайны Обычно – сплайны Большая гибкость и точность Большая гибкость и точность Большая чувствительность Большая чувствительность Возможность контроля гладкости Возможность контроля гладкости Предлагаемый нами метод –разновидность сплайнов, Предлагаемый нами метод –разновидность сплайнов, – гарантирующая нужные свойства функции дисконтирования – Позволяющий учитывать ликвидность для контроля точности

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 9 Свойства функции дисконтирования Традиционные методы подгонки» кривых доходности не обеспечивают естественные с экономической точки зрения свойства:

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 10 Требования к модели Убывание и положительность функции дисконтирования Убывание и положительность функции дисконтирования Достаточная точность приближения Достаточная точность приближения Достаточная гладкость кривой Достаточная гладкость кривой Сопоставимость невязки с «точностью измерения» - типичным размером бид-аск спрэда Сопоставимость невязки с «точностью измерения» - типичным размером бид-аск спрэда

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 11 Постановка математической задачи Связь между процентными ставками и функцией дисконтирования (непрерывное начисление процентов): Решение ищется в в виде:

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 12 Многокритериальная оптимизация

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 13 Общий вид решения на временных интервалах

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 14 Часть II Новый стандарт EFFAS-EBC

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 15 Настоящая методология Была обсуждена в EFFAS-EBC Methods & Measures Committee во время заседаний в Амстердаме (июнь 2004), Цюрихе (октябрь 2004), Париже (октябрь 2005), Будапеште (июнь 2006) и принята на пленарном заседании EFFAS-EBC в Будапеште (июнь 2006) Была обсуждена в EFFAS-EBC Methods & Measures Committee во время заседаний в Амстердаме (июнь 2004), Цюрихе (октябрь 2004), Париже (октябрь 2005), Будапеште (июнь 2006) и принята на пленарном заседании EFFAS-EBC в Будапеште (июнь 2006) Была подготовлена Была подготовлена – Сергеем Смирновым, членом EBC; – Алексеем Захаровым; – Романом Рачковым; – Виктором Лапшиным; – Владимиром Здоровениным; – Степаном Евстратовым.

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 16 Назначение стандарта Разработка стандартизованных правил построения безрисковой бескупонной кривой доходности и вычисления кредитных спредов на основании данных рынка облигаций (цены, заявки, bid-ask спреды, объёмы сделок и т.д.) для государственных бумаг (средне- и долгосрочных), номинированных в Евро. Разработка стандартизованных правил построения безрисковой бескупонной кривой доходности и вычисления кредитных спредов на основании данных рынка облигаций (цены, заявки, bid-ask спреды, объёмы сделок и т.д.) для государственных бумаг (средне- и долгосрочных), номинированных в Евро. Безрисковая бескупонная кривая доходности даёт базу для точной оценки приведенной стоимости потоков платежей, что особенно важно для приложений финансовой инженерии и риск- менеджмента. Безрисковая бескупонная кривая доходности даёт базу для точной оценки приведенной стоимости потоков платежей, что особенно важно для приложений финансовой инженерии и риск- менеджмента.

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 17 Основные трудности Долларовая безрисковая бескупонная кривая доходности гораздо более проста в построении, т.к. все государственные облигации США имеют один кредитный рейтинг (хотя ликвидность может разниться). Долларовая безрисковая бескупонная кривая доходности гораздо более проста в построении, т.к. все государственные облигации США имеют один кредитный рейтинг (хотя ликвидность может разниться). Главная трудность в нашем случае – бумаги, которые необходимо анализировать имеют разное кредитное качество. Главная трудность в нашем случае – бумаги, которые необходимо анализировать имеют разное кредитное качество. На текущий момент не существует общепринятого стандарта для определения безрисковой бескупонной кривой доходности для зоны Евро. На текущий момент не существует общепринятого стандарта для определения безрисковой бескупонной кривой доходности для зоны Евро.

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 18 Эмитенты государственных облигаций, номинированных в Евро Облигации, номинированные в Евро, выпускают 12 стран: Австрия, Бельгия, Германия, Греция, Ирландия, Испания, Италия, Люксембург, Нидерланды, Португалия, Финляндия и Франция. Облигации, номинированные в Евро, выпускают 12 стран: Австрия, Бельгия, Германия, Греция, Ирландия, Испания, Италия, Люксембург, Нидерланды, Португалия, Финляндия и Франция. Количество бумаг варьируется от одной (Люксембург) и трёх (Ирландия) до порядка пятидесяти (Германия и Италия). Основные эмитенты – Италия, Франция и Германия. Кредитное качество эмитентов сильно разнится, равно как и ликвидность бумаг. Количество бумаг варьируется от одной (Люксембург) и трёх (Ирландия) до порядка пятидесяти (Германия и Италия). Основные эмитенты – Италия, Франция и Германия. Кредитное качество эмитентов сильно разнится, равно как и ликвидность бумаг.

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 19 Рыночные доли (на июль 2005)

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 20 Соглашение: непрерывное начисление процентов. Стандарт использует непрерывное начисление процентов для связи функции дисконтирования и доходностью спот: d(t) = exp(-t r(t)), где d(t) – функция дисконтирования, а r(t) – мгновенная процентная ставка на срок t. Стандарт использует непрерывное начисление процентов для связи функции дисконтирования и доходностью спот: d(t) = exp(-t r(t)), где d(t) – функция дисконтирования, а r(t) – мгновенная процентная ставка на срок t. – Это обычное соглашение для оценки производных финансовых инструментов, основанной на моделях с непрерывным временем. – В этом случае дюрация с точностью до знака определяет относительную чувствительность цены к параллельным сдвигами бескупонной кривой доходности, и это выражение чувствительности инвариантно относительно формы кривой доходности.

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 21 Передовой опыт в определении кредитных спредов Процедура вычисления кредитных спредов «независимо от кредитной модели» основывается на известной бескупонной кривой доходности: Процедура вычисления кредитных спредов «независимо от кредитной модели» основывается на известной бескупонной кривой доходности: Чтобы найти кредитный спред эмитента, необходимо выбрать параллельный сдвиг безрисковой бескупонной кривой доходности, который бы наилучшим образом согласовывался с известными ценами на бумаги этого эмитента. Очевидная точка отсчёта для рынка долларовых бумаг – рынок U.S. Treasuries. Таким образом, не возникает проблем связанных с определением соответствующих кривых доходности. Очевидная точка отсчёта для рынка долларовых бумаг – рынок U.S. Treasuries. Таким образом, не возникает проблем связанных с определением соответствующих кривых доходности.

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 22Ограничения Этот подход может быть использован только для безотзывных облигаций. Этот подход может быть использован только для безотзывных облигаций. Он также игнорирует эффект премии за ликвидность и временную структуру кредитных спредов. Он также игнорирует эффект премии за ликвидность и временную структуру кредитных спредов. Несмотря на это, он предлагает достаточно хорошее приближение для определения кредитных спредов, особенно в сочетании с методикой учёта временной структуры кредитных спредов, предлагаемой ниже. Несмотря на это, он предлагает достаточно хорошее приближение для определения кредитных спредов, особенно в сочетании с методикой учёта временной структуры кредитных спредов, предлагаемой ниже.

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 23 Относительная безрисковая бескупонная кривая доходности Основная идея – использовать текущий передовой опыт определения кредитных спредов, обсуждённый выше, для построения безрисковой бескупонной кривой доходности путём решения обратной задачи. Основная идея – использовать текущий передовой опыт определения кредитных спредов, обсуждённый выше, для построения безрисковой бескупонной кривой доходности путём решения обратной задачи. Это означает, что мы должны выбрать безрисковую бескупонную кривую доходности так, чтобы кредитные спреды, вычисленный относительно этой кривой, давали бы наибольшую точность. Это означает, что мы должны выбрать безрисковую бескупонную кривую доходности так, чтобы кредитные спреды, вычисленный относительно этой кривой, давали бы наибольшую точность. Эта задача имеет неединственное решение, и соответствующая кривая определена с точностью до аддитивной константы (сдвига). Мы назовём её относительной безрисковой бескупонной кривой доходности Эта задача имеет неединственное решение, и соответствующая кривая определена с точностью до аддитивной константы (сдвига). Мы назовём её относительной безрисковой бескупонной кривой доходности

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 24Улучшение Мы можем улучшить предложенный метод путём учёта временной структуры кредитных спредов. Чтобы захватить этот эффект второго порядка, нужно ввести дополнительный параметр, такой как (постоянный) наклон, индивидуальный для каждого эмитента. В этом случае относительная безрисковая бескупонная кривая доходности будет определяться с точностью до двух параметров: сдвига и наклона. Мы можем улучшить предложенный метод путём учёта временной структуры кредитных спредов. Чтобы захватить этот эффект второго порядка, нужно ввести дополнительный параметр, такой как (постоянный) наклон, индивидуальный для каждого эмитента. В этом случае относительная безрисковая бескупонная кривая доходности будет определяться с точностью до двух параметров: сдвига и наклона. На практике не очень разумно удваивать количество оцениваемых параметров. Дополнительный параметр наклона может быть введён лишь для тех эмитентов, которые показывают систематически непостоянные во времени кредитные спреды. На практике не очень разумно удваивать количество оцениваемых параметров. Дополнительный параметр наклона может быть введён лишь для тех эмитентов, которые показывают систематически непостоянные во времени кредитные спреды.

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 25 Кривые доходности для Германии,

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 26 Кривые доходности для Греции,

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 27 Абсолютная безрисковая бескупонная кривая доходности Чтобы построить абсолютную безрисковую бескупонную кривую доходности, необходима дополнительная процедура (и, возможно, дополнительные данные) определения сдвига (и, в случае расширенной модели, наклона) относительной кривой.

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 28 Применимость данных Euribor Swap Rate Эмпирические исследования показывают, что своп-кривые не могут быть непосредственно использованы для определения сдвига кривой доходности. Своп-кривые могут быть расположены над кривой доходности для отдельных эмитентов. Эмпирические исследования показывают, что своп-кривые не могут быть непосредственно использованы для определения сдвига кривой доходности. Своп-кривые могут быть расположены над кривой доходности для отдельных эмитентов. Это наталкивает на заключение о том, что оценка сдвига безрисковой бескупонной кривой доходности должна быть основана исключительно на данных рынка облигаций, чтобы исключить шум от инородных данных. Это наталкивает на заключение о том, что оценка сдвига безрисковой бескупонной кривой доходности должна быть основана исключительно на данных рынка облигаций, чтобы исключить шум от инородных данных.

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 29 «Наивный» подход Наиболее примитивный подход, выглядящий вполне естественно, состоит в том, чтобы определить как безрисковую кривую лежащую ниже остальных кривую доходности отдельного эмитента (полученную параллельным сдвигом относительной бескупонной кривой доходности). Наиболее примитивный подход, выглядящий вполне естественно, состоит в том, чтобы определить как безрисковую кривую лежащую ниже остальных кривую доходности отдельного эмитента (полученную параллельным сдвигом относительной бескупонной кривой доходности). Достоинство этого подхода – в его «независимости от модели». Достоинство этого подхода – в его «независимости от модели». Недостаток же в том, что уровень определяемой кривой может быть слишком изменчивым в периоды, когда лидер (эмитент с наинизшим уровнем индивидуальной кривой) часто меняется. Это довольно типичная ситуация для рынка облигаций зоны Евро, так что этот недостаток – весьма серьёзный повод искать альтернативные подходы. Недостаток же в том, что уровень определяемой кривой может быть слишком изменчивым в периоды, когда лидер (эмитент с наинизшим уровнем индивидуальной кривой) часто меняется. Это довольно типичная ситуация для рынка облигаций зоны Евро, так что этот недостаток – весьма серьёзный повод искать альтернативные подходы.

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 30 Средний уровень кривой доходности После того, как построена относительная безрисковая бескупонная кривая доходности, мы выбираем «средний» параметр сдвига следующим образом: Рассматриваем портфель из всех облигаций, номинированных в Евро, на рынке, где каждая облигация взята с весом, пропорциональным её рыночной стоимости. Этот портфель отражает рынок целиком. Рассматриваем портфель из всех облигаций, номинированных в Евро, на рынке, где каждая облигация взята с весом, пропорциональным её рыночной стоимости. Этот портфель отражает рынок целиком. Затем мы выбираем параметр сдвига так, чтобы теоретическая рыночная стоимость портфеля, вычисленная путём дисконтирования всех будущих потоков платежей, была бы равна его цене, вычисленной на основании текущих рыночных цен составляющих бумаг. Затем мы выбираем параметр сдвига так, чтобы теоретическая рыночная стоимость портфеля, вычисленная путём дисконтирования всех будущих потоков платежей, была бы равна его цене, вычисленной на основании текущих рыночных цен составляющих бумаг.

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 31 Средняя кривая доходности Полученная кривая может рассматриваться как некий индекс, характеризующий уровень процентных ставок на рынке. Эта кривая в дальнейшем будет называться «Средней кривой доходности» Полученная кривая может рассматриваться как некий индекс, характеризующий уровень процентных ставок на рынке. Эта кривая в дальнейшем будет называться «Средней кривой доходности» Эта индексная кривая – обобщение «Average Gross Redemption Yield», описанного в Эта индексная кривая – обобщение «Average Gross Redemption Yield», описанного в Brown P.J. Constructing & calculating bond indices, a guide to the EFFAS standardized rules, a guide to the EFFAS standardized rules, 1994.

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 32 Безрисковый уровень доходности Мы определим безрисковый уровень доходности как нижнюю границу доверительного интервала для минимального уровня сдвига индивидуальных кривых доходности по всем эмитентам в следующий момент времени (обычно, 1 день) на заданном уровне доверия (обычно 0.99). Оценка этой границы похожа на оценку Value-at-Risk. Оценка этой границы похожа на оценку Value-at-Risk.

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 33 Связь безрисковой кривой доходности и средней кривой доходности (Абсолютная) безрисковая бескупонная кривая доходности получается из относительной с учётом безрискового уровня доходности. (Абсолютная) безрисковая бескупонная кривая доходности получается из относительной с учётом безрискового уровня доходности. Она предпочтительнее, чем текущая минимальная кривая доходности, т.к. Позволяет избежать возможных манипуляций. Она предпочтительнее, чем текущая минимальная кривая доходности, т.к. Позволяет избежать возможных манипуляций. Мы предлагаем моделировать стохастический процесс эволюции всех спредов относительно средней кривой доходности, чтобы оценить безрисковую кривую доходности на заданную дату. Мы предлагаем моделировать стохастический процесс эволюции всех спредов относительно средней кривой доходности, чтобы оценить безрисковую кривую доходности на заданную дату. Мы предлагаем 9-этапный алгоритм для решения этой задачи. Мы предлагаем 9-этапный алгоритм для решения этой задачи.

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г этапный алгоритм 1.Зафиксировать базовый период (несколько дней до даты, на которую производятся вычисления). Мы предлагаем 40 торговых дней. 2.Определить относительную кривую доходности и индивидуальные спреды для базового периода. 3.Если имеют место линейные спреды, они должны быть преобразованы в постоянные. Например, предлагается вычислить их в точке, соответствующей средней дюрации всех бумаг эмитента. Или просто отбросить их, если есть основания полагать, что они достаточно высоки, чтобы не оказывать влияния на оценку нижней границы.

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г этапный алгоритм 4.Для каждого дня базового периода вычислить средний уровень кривой доходности и вычесть его из всех индивидуальных спредов. Далее все спреды будут рассматриваться относительно этого базового уровня. 5.Убрать линейный тренд из временного ряда спредов. 6.В пределах базового периода оценить линейную факторную модель с тремя факторами. 7.В результате получится оценка факторов на протяжении базового периода. Для каждого из этих (некоррелированных) факторов оценить модель авторегрессии первого порядка.

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г этапный алгоритм 8.Предыдущий шаг дал нам распределение значений факторов в следующий момент времени. Таким образом, мы можем получить распределение индивидуальных спредов, используя информацию пунктов 5-6. Путём моделирования методом Монте-Карло мы можем найти доверительный интервал для индивидуальных спредов в следующий момент времени. Доверительная вероятность может быть оценена экспертным образом. Мы использовали значения 1% и 5% для практических целей. 9.Нижняя граница этого доверительного интервала объявляется безрисковым спредом относительно индексной кривой, определённой в п.4.

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 37 Индивидуальные спреды относительно индексной кривой

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 38 Безрисковый уровень

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 39 Почему сплайны лучше, чем параметрическое оценивание German zero-coupon yield curves (July 28th, 2005)

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 40 Кривые доходности зоны Евро

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 41 Эволюция кривых доходности зоны Евро

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 42 Возможные применения Безрисковые бескупонные кривые доходности могут вычисляться ежедневно или более часто такими агентствами, как International Index Company, публикующими индексы iBoxx. Безрисковые бескупонные кривые доходности могут вычисляться ежедневно или более часто такими агентствами, как International Index Company, публикующими индексы iBoxx. Они могут быть точками отсчёта для профессионального использования. Они также могут быть полезны в финансовой инженерии, исследовательских приложениях, размещении активов и оценке эффективности. Они могут быть точками отсчёта для профессионального использования. Они также могут быть полезны в финансовой инженерии, исследовательских приложениях, размещении активов и оценке эффективности.

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 43 Универсальность методики Подход, разработанный для построения безрисковой бескупонной кривой доходности в зоне Евро, может быть использован для построения безрисковой бескупонной кривой доходности для отдельной страны, используя государственные, муниципальные и корпоративные бумаги. Подход, разработанный для построения безрисковой бескупонной кривой доходности в зоне Евро, может быть использован для построения безрисковой бескупонной кривой доходности для отдельной страны, используя государственные, муниципальные и корпоративные бумаги. В случае низкой ликвидности процедура для построения кривой доходности должна быть более тщательной. Мы предлагаем оценивать недостающие данные (используя исторические данные) на первом этапе и после этого, - на втором этапе, - оценивать кривую В случае низкой ликвидности процедура для построения кривой доходности должна быть более тщательной. Мы предлагаем оценивать недостающие данные (используя исторические данные) на первом этапе и после этого, - на втором этапе, - оценивать кривую

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 44 Относительная кривая доходности спот для швейцарского рынка

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 45 Российский рынок: кредитные спреды и безрисковый спред

Кафедра управления рисками и страхования Голицино, 20 октября 2007 г. 46 Стандартизованные правила EFFAS-EBC Подробную информацию можно найти в документе, доступном на сайте Европейской комиссии по облигациям ( Раздел Projects): Methodology for Definition of Risk Free Zero- Coupon Yield Curve and Spreads in the Eurozone, EFFAS-European Bond Commission, June 2006