Тема 8. «Векторы на плоскости и в пространстве» Основные понятия: 1.Определение вектора, основные определения и линейные операции над векторами 2.Скалярное произведение векторов 3.Векторное произведение векторов 4.Смешанное произведение векторов 5.Линейная зависимость и независимость векторов

1.Определение вектора, основные определения и линейные операции над векторами Вектором называется направленный отрезок AB с начальной точкой A и конечной точкой B (который можно перемещать параллельно самому себе). Обозначения Длиной (или модулем) вектора называется число, равное длине отрезка AB, изображающего вектор. Обозначения

Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных прямых. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Произведением вектора на число λ называется вектор, имеющий длину, направление которого совпадает с направлением вектора, если λ>0, и противоположно ему, если λ

Рассмотрим вектор и ось n. - проекция А на ось n - проекция В на ось n Проекцией вектора на ось n называется величина направленного отрезка (вектора) оси n.

Рассмотрим ПДСК в пространстве. Радиусом-вектором т.М называется вектор ДПКоординатами X,Y,Z вектора r называются его проекции на координатные оси i,j,k – единичные векторы координатных осей (орты). Если А,В,С – проекции т. М на координатные оси, то Последнее является разложением вектора r по базисным векторам (ортам).

Длина радиуса-вектора (используя пространственную теорему Пифагора) вычисляется по формуле Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов, образуемых им с координатными осями

2. Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число Замечание. Если два вектора являются перпендикулярными, то их скалярное произведение равно нулю, и наоборот. Теорема. Скалярное произведение двух векторов вычисляется по формуле

Следствие 1. Косинус угла между векторами вычисляется по формуле Следствие 2. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов выражается равенством

3. Векторное произведение векторов Векторным произведением двух векторов называется третий вектор, обозначаемый и удовлетворяющий следующим условиям: 1) 2) Вектор перпендикулярен каждому из векторов и 3) и тройки одной ориентации.

Теорема. Векторное произведение двух векторов выражается формулой

Следствие 1. Площадь параллелограмма, построенного на векторах вычисляется по формуле Следствие 2. Площадь треугольника, построенного на векторах вычисляется по формуле

4. Смешанное произведение векторов Рассмотрим три вектора. Вектор умножим векторно на. Полученное векторное произведение умножим скалярно на. Получим число, которое называют векторно- скаляным произведением или смешанным произведением. Обозначают или.

Теорема. Смешанное произведение трех векторов выражается формулой Следствие 1. Объем параллелепипеда, построенного на векторах вычисляется по формуле

Следствие 2. Объем пирамиды, построенной на векторах вычисляется по формуле Следствие 3. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

5. Линейная зависимость и независимость векторов Векторы называются линейно зависимыми, если существуют действительные числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что Если таких чисел нет, то векторы называются линейно независимыми.

Следствие 1. Если хотя бы один из векторов системы нулевой, то и система линейно зависима. Следствие 2. Если часть векторов системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима. Теорема. Чтобы векторы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из векторов был линейной комбинацией остальных.

Теорема. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарные. Теорема. Любой вектор на плоскости можно единственным образом разложить по двум неколлинеарным векторам той же плоскости, т. е.

Теорема. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны. Теорема. Любой вектор в пространстве можно единственным образом разложить по трем некомпланарным векторам, т. е. Следствие. Всякие четыре вектора трехмерного пространства линейно зависимы.