Литература Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Попова Н.В., Хейнман В.Б. Элементы линейной алгебра и аналитической геометрии Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Хейнман В.Б. Сборник задач по линейной алгебра и аналитической геометрии Барышева В.К., Ивлев Е.Т., Пахомова Е.Г. Руководство к решению задач по аналитической геометрии

Глава I. Элементы линейной алгебры Линейная алгебра – часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах

§ 1. Матрицы и действия над ними 1. Определение и некоторые виды матриц ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицей размера m n называется таблица, образованная из элементов некоторого множества (например, чисел или функций) и имеющая m строк и n столбцов. Если m n, то матрицу называют прямоугольной. Если m n, то матрицу называют квадратной, порядка n. Элементы, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы. Например, a 24 – a 13 –

Две матрицы A и B считаются равными, если они одинакового размера, и элементы, стоящие в A и B на одинаковых местах, равны между собой, т.е. a ij b ij.

Некоторые частные случаи матриц

Элементы a 11, a 22, …, a kk (где k min{m,n}) будем называть элементами главной диагонали матрицы. Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной: Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, называется единичной: Обозначают: E или E n.

5) Пусть A = (a ij ) – квадратная матрица порядка n. Элементы a 1n, a 2,n-1, a 3,n-2, …, a n1 будем называть элементами побочной диагонали матрицы. Квадратные матрицы, у которых все элементы ниже (выше) главной или побочной диагонали равны нулю, называются треугольными :

6) Прямоугольную матрицу размера m n будем называть трапециевидной, если все ее элементы ниже главной диагонали равны нулю, т.е. если она имеет вид:

2. Линейные операции над матрицами 1) Произведение матрицы на число; 2) Сумма матриц. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением матрицы A=(a ij ) на число называется такая матрица B=(b ij ), элементы которой равны произведениям соответствующих элементов матрицы A на число, т.е. b ij = ·a ij. Обозначают: ·A, A. Частный случай: (-1)·A – противоположная матрице A, Обозначают –A.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой двух матриц A=(a ij ) и B=(b ij ) одинакового размера, называется такая матрица C=(c ij ), элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц A и B, т.е. c ij = a ij + b ij. Обозначают: A+B Частный случай: A+(–B) – разность матриц A и B. Обозначают: A–B

Свойства линейных операции над матрицами

3. Нелинейные операции над матрицами 1) Умножение двух матриц; 2) Транспонирование матрицы. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A=(a 1i ) и B=(b i1 ) – матрица-строка и матрица-столбец одинаковой длины n. Произведением матрицы-строки A на матрицу-столбец B называется число c (т.е. матрица размера 1), равное сумме произведений их соответствующих элементов, т.е. c a 11 · b 11 + a 12 · b 21 + a 13 · b 31 + … + a 1n · b n1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A=(a ij ) – матрица размера m n, B=(b ij ) – матрица размера n k (т.е. количество столбцов в матрице A совпадает с количеством строк матрицы B). Произведением матрицы A на матрицу B называется матрица C =(c ij ) размера m k такая, что каждый ее элемент c ij является произведением i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B, т.е. c ij a i1 · b 1j + a i2 · b 2j + a i3 · b 3j + … + a in · b nj. Обозначают: A ·B, AB.

Свойства операции умножения матриц

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A – матрица размера m n. Матрица размера n m, полученная из A заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к A и обозначается A Т. Операция нахождения матрицы A Т называется транспонированием матрицы A. Свойства операции транспонирования матриц