Математика Лекция 3 (продолжение) Разработчик Гергет О.М.

Метод Гаусса Опр.1. Две СЛАУ с одним и тем же набором неизвестных называются равносильными (эквивалентными), если решение одной системы является решением другой системы. Элементарные преобразования СЛАУ: перестановка двух уравнений умножение всех членов уравнения на одно и то же число, отличное от нуля прибавление к одному из уравнений системы другого уравнения этой системы, предварительно умножив все его члены на одно и то же число. Теорема. Всякое элементарное преобразование СЛАУ переводит ее в эквивалентную

Случай 1. Случай 2. Все неизвестные делятся на базисные (, где r = rang A) свободные(все остальные).

Опр. 2.Выражение базисных неизвестных через свободные называется общим решением СЛАУ. Опр. 3. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим частное решение.

Однородные системы линейных уравнений Опр. 1. СЛАУ называется однородной, если все свободные члены равны нулю. Однородная система всегда совместна. Теорема. Однородная система имеет ненулевые (нетривиальные) решения тогда и только тогда, когда.

ФСР Если однородная система имеет множество решений, то все решения можно разделить на линейно независимые и линейно зависимые. Совокупность линейно независимых решений называется фундаментальной системой решений (ФСР). Через ФСР можно выразить любое решение однородной системы. ФСР состоит из (n – r) линейно независимых решений, где n – число неизвестных, r – ранг матрицы системы. Для построения ФСР свободным неизвестным можно придать значения единичной матрицы.

2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Понятие вектора Любое вещественное число называется скаляром. Вектором называется направленный отрезок прямой Обозначение, где А – начало, В – конец вектора

Опр. 1. Длина (модуль) вектора – расстояние между начальной и конечной точками. Опр. 2. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым. Направление – не определено, длина = 0. Опр. 3. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой либо на параллельных прямых. Сонаправленные Противоположно направленные Опр. 4. Векторы (3 и более) называются компланарными, если они лежат на одной плоскости либо на параллельных плоскостях. Векторы, изучаемые в векторной алгебре, называются свободными. Опр. 5. Два вектора равны, если: 1) они коллинеарны 2) сонаправлены 3) их модули равны

Линейные операции над векторами умножение вектора на число сложение (вычитание) векторов. Опр. 1. Произведением вектора на число называется вектор коллинеарный вектору направление зависит от знака (совпадает с, если >0, противоположное, если

Условие коллинеарности векторов Если вектор коллинеарен ненулевому вектору, то существует число, такое, что

Сложение векторов 1. Правило треугольника. Если к концу первого вектора поместить начало второго, то суммой называется вектор, идущий из начала первого вектора в конец второго вектора.

2. Правило параллелограмма. Если два вектора помещены в общее начало, то вектор-сумма направлен по диагонали параллелограмма, выходящей из той же самой точки.

3. Правило многоугольника

Разность векторов Если два вектора и помещены в общее начало, то вектор-разность направлен по диагонали параллелограмма, выходящей из конца вектора в конец вектора

Линейная зависимость и независимость векторов Опр. 1. Векторы называются линейно-зависимыми, если найдутся числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие что и линейно независимыми, если равенство выполняется при

Теорема 1. Если среди векторов есть, то эти векторы являются линейно-зависимыми. Замечание. Любой вектор можно выразить через линейную комбинацию линейно-независимых векторов. Теорема 2. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости 2х векторов является их коллинеарность. Следствие 1. Если векторы неколлинеарны, то они линейно независимы. 2. Среди двух неколлинеарных векторов не может быть. Теорема 4. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости 3х векторов является их компланарность. Следствие 1. Если 3 вектора некомпланарны, то они линейно независимы. 2. Среди 3х некомпланарных векторов не может быть. 3. Среди 3х некомпланарных векторов не может быть 2х коллинеарных векторов. Теорема 5. Любые 4 вектора линейно зависимы.

Аффинный базис Опр. 2. Совокупность линейно независимых векторов называется аффинным базисом. на прямой – ненулевой вектор на плоскости – 2 неколлинеарных вектора в пространстве – 3 некомпланарных вектора Запись вида называется разложением по базису, а числа,, - аффинными координатами вектора.

Теорема 6. Любой вектор можно разложить по базису, причем разложение вектора по базису единственно. Основная теорема векторной алгебры. Линейные операции над векторами сводятся к тем же линейным операциям над их координатами. Условия коллинеарности векторов и в координатной форме

Аффинное пространство Аффинная система координат состоит из фиксированной точки О и базиса радиус-вектор – радиус-вектор точки М. Аффинные координаты точки М – координаты вектора относительно аффинного базиса. Если и - две точки аффинного пространства, то координаты вектора

Деление отрезка в данном отношении Даны две точки и. Найти координаты точки M 3, делящей отрезок в отношении, т.е. или

Декартов базис Опр. 1. Аффинный базис называется декартовым прямоугольным, если его векторы попарно перпендикулярны и имеют единичную длину. Координаты,, вектора, называются абсциссой, ординатой, аппликатой радиус-вектора.Если же речь идет о координатах точки, то М (,, ).

Проекция Определение 3. Проекцией вектора на ось ОХ называется длина отрезка CD этой оси, заключенного между проекциями его начальной и конечной точек, взятая со знаком +, если направление отрезка CD совпадает с направлением оси проекций, и со знаком -, если эти направления противоположны (рис.22).