Применение численных методов при моделировании химико-технологических процессов.

Одной из важнейших и наиболее распространённых задач прикладной математики является задача решения нелинейных уравнений, встречающихся в разных областях научных исследований. Любое уравнение в общем случае можно представить в виде: f ( x ) = 0. Нелинейные уравнения можно разделить на два класса – алгебраические и трансцендентные.

Это уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). Алгебраическое уравнение в общем виде можно представить многочленом n-й степени с действительными коэффициентами: f (x) =а 0 x n + а 1 х n а n =0. Например, х 3 + х 2 + 2х = 0.

Трансцендентными называются уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и т. д.). Например:3x – sin x = 0.

Задача решения любого уравнения заключается в нахождении таких значений х, которые обращают f ( x ) = 0 в тождество, т. е. в нуль. f( )=0, где – корень уравнения.

Методы решения делятся на: 1. прямые; 2. итерационные.

Прямые методы позволяют записать корни в виде формулы. Однако встречающиеся на практике уравнения не всегда удаётся решить простыми методами. Для их решения используются итерационные методы, т. е. методы последовательных приближений.

Приближённое определение корней проводится в два этапа: 1. Отделение корней, т. е. установление достаточно малых отрезков, в каждом из которых содержится только один корень уравнения. 2. Уточнение приближённого значения корней до некоторой заданной степени точности.

Приближенное значение корня может быть найдено различными способами: 1. Графический метод отделения корней; 2. Аналитический метод отделения корней.

Пусть требуется отделить корни уравнения f ( x ) = 0. Для этого строим график данной функции. Абсциссы точек пересечения графика с осью ОХ будут приближёнными значениями корней уравнения.

Часто на практике уравнение преобразовывают к более простому виду. Допустим: f (x) = 1 (x) – 2 (x) = 0, 1 (x) = 2 (x). Строим графики функций: y 1 = 1 (x); y 2 = 2 (x). Корнями данного уравнения будут абсциссы пересечения этих графиков.

Отделить корни уравнения f(x)= xlgx – 1 = 0. Преобразуем f(x) к виду: lg x = 1/x. Построим графики функций 1. y 1 = lg x 2. y 2 = 1/x

Точка пересечения этих графиков даёт приближённое значение единственного корня 2.5.

Теорема. Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [a, b], т. е. f(a)f(b)

При этом, если на заданном отрезке [a,b] существует первая производная f'(x), сохраняющая знак внутри [a,b] и (f'(x)>0 или f'(x)

1. Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции в граничных точках a и b. 2. Затем определяются знаки в ряде промежуточных точек. 3. После чего выделяются отрезки, на границе которых функция меняет знак на противоположный. Выделенные отрезки и содержат корень данного уравнения.

Корни уравнения f(x) = x 3 – 7x + 3 = 0. При заданных значениях х от – до + определяем знаки f(x). Результаты поиска приведены в табл. 1. В результате поиска выделены три интервала, на которыхфункция f(x) имеет действительные корни: [–3, –1]; [0, 1]; [1, 3]

Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х 0. Каждый такой шаг называется итерацией. Рассмотрим некоторые итерационные методы решения нелинейных уравнений.

Пусть дано уравнение f(x)=0. Допустим, нам удалось найти такой отрезок [a, b], на котором расположено значение корня, т. е. а<

Далее исследуем значения функции: 1. если f(x 0 )=0, то х 0 является корнем уравнения, т. е. =x Если f(x 0 ) 0, то выбираем одну из половин отрезка [a, x 0 ] или [x 0, b], на концах которой функция f(x) имеет противоположные знаки, т. е. содержит искомый корень, поэтому его принимаем в качестве нового отрезка [x 0, b]. Вторую половину отрезка на концах которого знак f(х) не меняется, отбрасываем: в данном случае [a, x 0 ].

Отрезок [x 0, b] вновь делим пополам. Новое приближение: x 1 =(x 0 +b)/2. Вновь исследуем функцию f(x) на концах отрезка и отбрасываем отрезок [x 1, b], т. к. f(x 1 )>0 и f(b)>0. Отрезок [x 0, x 1 ],на концах которого функция имеет противоположные знаки f(x 1 )>0, f(x 0 )

Найти корни уравнения x 3 -6x+2=0, с точностью =0.1. В результате отделения корней было получено три отрезка, содержащих действительные корни. Выберем в качестве примера отрезок [–3, –1] и определим корень уравнения, используя метод деления отрезка пополам.

Определим знак функции на концах отрезка [–3, –1]: f(–3)= – = –7; f(–1)= –1+6+2=+7. Делим отрезок пополам: (–3, –1)/2= –2. Значение функции в этой точке f(–2)= –8+12+2=6 имеет положительное значение. Отбрасываем половину отрезка, на концах которого функция имеет положительные знаки, а именно – отрезок [–2, –1].

Полученный отрезок [–3, –2] делим пополам: (–3–2)/2= –2.5; f(–2.5) >0, следовательно, отбрасываем отрезок [–2.5,–2]. отрезок [–3,–2.5] делим пополам: (–3–2.5)/2= –2.75; f(–2.75)