Основные труды А.М.Ляпунова создал теорию устойчивости равновесия и движения механических систем с конечным числом параметров. Работы в области: дифференциальных уравнений; гидродинамики; теории вероятностей. В математической физике решил задачу Дирихле. В теории вероятностей развил метод характеристических функций, очень общий. При этом доказал теорему вероятностей при значительно более общих условиях, чем его предшественники.

Центральная предельная теорема – одно из важнейших положений теории относительности.

Если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.

Центральная предельная теорема в различных её формах устанавливает условия, при которых возникает нормальное распределение и нарушение которых ведет к распределению, отличного от нормального.

Нормальный закон очень распространен в инженерной практике; в технике; в биологии; в экономике, в бизнесе и т.д.

Центральная предельная теорема имеет большое теоретическое и прикладное значение в ряде вопросов, в том числе в теории ошибок.