Лектор Пахомова Е.Г г. Дифференциальные уравнения Тема: Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

§9. Уравнения в полных дифференциалах УравнениеM(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (14) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), т.е. если M(x, y)dx + N(x, y)dy = du(x, y). Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах имеет видu(x, y) = C. Задачи: 1)научиться определять, когда выражение M(x, y)dx + N(x, y)dy является полным дифференциалом; 2) научиться находить функцию u(x, y), зная ее полный диф- ференциал.

ТЕОРЕМА 1. Пусть функции M(x, y), N(x, y) определены и непрерывны в области D плоскости xOy и имеют в ней непрерывные частные производные Для того чтобы выражение M(x, y)dx + N(x, y)dy представляло собой полный дифференциал некоторой функции u(x, y), необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D выполнялось условие ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Способы нахождения функции u(x, y): 1)используя алгоритм, предложенный в доказательстве теоре- мы 1; 2) используя одну из следующих формул: где (x 0,y 0 ) – любая точка области D непрерывности функций M(x, y), N(x, y).

3) методом интегрируемых комбинаций. Суть метода интегрируемых комбинаций: выделить в M(x, y)dx + N(x, y)dy выражения, являющиеся дифференциалами известных функ- ций («интегрируемые комбинации») и привести его таким образом к виду du(x, y). ПРИМЕРЫ интегрируемых комбинаций:

§10. Интегрирующий множитель Функция (x,y) называется интегрирующим множителем уравненияM(x, y)dx + N(x, y)dy = 0,(14) если после его умножения на (x,y) левая часть уравнения становится полным дифференциалом некоторой функции. Пусть функции M(x, y), N(x, y) определены и непрерывны в области D плоскости xOy и имеют в ней непрерывные частные производные

ТЕОРЕМА 1 (о существовании интегрирующего множителя вида (x) или (y)). Пусть 1)Если = (x), то уравнение (14) имеет интегрирующий множитель (x), который является решением уравнения 2)Если = (y), то уравнение (14) имеет интегрирующий множитель (y), который является решением уравнения

УПРАЖНЕНИЯ 1)Найти интегрирующий множитель для линейного диффе- ренциального уравнения первого порядка. 2)Найти интегрирующий множитель для уравнения Бернулли. 3)Получить формулу (уравнение) для нахождения интегри- рующего множителя вида = (x 2 + y 2 ). Найти общий интеграл уравнения 4)Получить формулу (уравнение) для нахождения интегри- рующего множителя вида = (xy). Найти общий интеграл уравнения