Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две системы называются эквивалентными (равносильными) если их решения совпадают. К эквивалентной системе можно.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две системы называются эквивалентными (равносильными) если их решения совпадают. К эквивалентной системе можно.
Advertisements

Лектор Белов В.М г. Тема: Системы линейных уравнений. Системы однородных уравнений.
3. Ранг матрицы Элементы линейной алгебры. Ранг матрицы (1) Минором к – го порядка матрицы А называется определитель к – го порядка с элементами, стоящими.
Линейная алгебра Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Ранг матрицы Исследование систем линейных уравнений Однородные системы линейных уравнений.
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:
Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Системой m линейных уравнений с n неизвестными х 1, х 2, …, х n называется система вида a ij - коэффициенты.
Системы линейных уравнений.. Системой m линейных уравнений с n неизвестными х 1, х 2, …, х n называется система вида a ij - коэффициенты системы, i=1,…,m;
§ 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы A называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы A более высокого порядка.
Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 3. Тема: Системы линейных уравнений: методы решения.
Системы линейных уравнений Лекция 3. Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными.
Тема 1 «Элементы линейной и векторной алгебры» Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Г.В. Аверкова Курс «Высшая математика» Понятия.
§2 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 2.1 Системы линейных уравнений Линейной системой m уравнений с n неизвестными х 1, х 2,…х n называется.
Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Определение: Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:
Системы n линейных уравнений с n неизвестными. Определение: Определение. Система n уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:
Нахождение фундаментального решения. Подготовила: Колосова Светлана. Принял: Адашев Д.К.
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Матрицы Элементарные преобразования и действия над матрицами made by aspirin.
Метод Гаусса Выполнил Межов В.С. Группа СБ
Высшая математика Кафедра математики и моделирования Преподаватель Никулина Л. С. Четвертый семестр.
Математика Лекция 3 (продолжение) Разработчик Гергет О.М.
Транксрипт:

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две системы называются эквивалентными (равносильными) если их решения совпадают. К эквивалентной системе можно перейти с помощью элементарных преобразований системы. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются преобразования следующего вида: 1) умножение обеих частей уравнения на число α 0; 2) прибавление к одному уравнению другого, умноженного на число α 0; 3) перестановка двух уравнений; 4) вычеркивание одного из двух пропорциональных или одинаковых уравнений.

Суть метод Гаусса: а) из всех уравнений системы кроме первого исключается неизвестное x 1 ; б) из всех уравнений системы кроме первого и второго исключается неизвестное x 2 ; в) из всех уравнений системы кроме первого, второго и третьего исключается неизвестное x 3 и т.д. В результате система будет приведена к одному из следующих двух видов. 1) Первый возможный вид:

Тогда Следовательно, система (5) (а значит и исходная система) совместна и имеет единственное решение. Находим решение: а) из последнего уравнения системы (5): б) из предпоследнего уравнения системы (5): И т.д. получим последовательно x n-2, x n-3, …, x 1.

2) Второй возможный вид Следовательно, система (6) (а значит и исходная система) совместна и имеет множество решений. Находим решение: Переменные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, назовем зависимыми. Остальные переменные назовем независимыми (или свободными). Пусть, например, x 1,x 2, …, x r – зависимые, x r+1,x r+2, …, x n – свободные.

б) Перепишем систему (6) в следующем виде: Выразим зависимые переменные через свободные: Система (8), в которой зависимые переменные выражены через свободные, называется общим решением системы (6) (а значит и исходной системы). Придавая свободным переменным в общем решении конкретные значения, мы можем записать бесконечно много решений системы.

§5. Системы линейных однородных уравнений Рассмотрим систему m линейных однородных уравнений с n неизвестными, т.е. систему вида Решение x 1 = x 2 = … = x n = 0 называют нулевым (тривиальным). Если а) m = n и |A| = 0 или б) m < n, то r(A)

ТЕОРЕМА 1. Линейная комбинация конечного числа решений системы линейных однородных уравнений тоже является решением этой системы. ТЕОРЕМА 2. Пусть r – ранг матрицы системы (1). Если система имеет нетривиальные решения, то найдутся n-r решений таких, что любое другое ее решение будет их линейной комбинацией. Решения, о которых идет речь в теореме 2, называются фундаментальной системой решений. АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ФСР: 1) находим общее решение системы; 2) записываем любой отличный от нуля определитель Δ, порядка n – r; 3) записываем n – r решений системы, беря в качестве значений для свободных неизвестных элементы строк определителя Δ. Полученные таким образом n–r решений будут являться фундаментальной системой решений системы.