Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Предел функции (свойства пределов, бесконечно большие и их свойства, односторонние пределы, замечательные пределы, сравнение бесконечно малых и бесконечно больших)

2. Свойства пределов Из свойств сходящихся последовательностей и определения предела функции по Гейне получаем, что справедливы следующие утверждения. 1) Если функция имеет предел при x x 0, то он единственный. 2) Если f(x) A, то | f(x)| |A|. 3)Если функция f(x) имеет предел при x x 0, то она ограничена в некоторой проколотой окрестности точки x 0 (говорят: функция локально ограничена) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция (x) называется бесконечно малой при x x 0, если 4) ЛЕММА 2 (о роли бесконечно малых функций). Число A является пределом функции f(x) при x x 0 f(x) = A + (x), где (x) – бесконечно малая при x x 0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 5) Пусть f(x) – ограничена в некоторой проколотой окрестности точки x 0, (x) – бесконечно малая при x x 0. Тогда f(x) (x) – бесконечно малая при x x 0.

6) Пусть f(x) и g(x) имеют предел при x x 0. Тогда их сумма, разность, произведение и частное тоже имеют предел при x x 0, причем Следствие свойства 6. Если f(x) имеет предел при x x 0, то c функция с f(x) тоже имеет предел при x x 0, причем Говорят: «константу можно вынести за знак предела». Замечание. Свойство 6 и его следствие обычно называют теоремами о пределах.

7) Пусть f(x) имеет предел при x x 0 и >0 такое, что f(x) 0 (или f(x) > 0), x U * (x 0, ). Тогда 8) Пусть f(x) и g(x) имеют пределы при x x 0 и >0 такое, что f(x) g(x) (или f(x) > g(x)), x U * (x 0, ). Тогда 9) ЛЕММА 3 (о двух милиционерах). Пусть f(x) и g(x) имеют одинаковый предел при x x 0 и >0 такое, что f(x) (x) g(x), x U * (x 0, ). Тогда функция (x) тоже имеет предел при x x 0, причем

10)Пусть f: X Y, : Y Z и существуют пределы Тогда сложная функция (f(x)) имеет предел при x x 0, причем Формула (1) называется формулой замены переменной в пределе ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

3. Бесконечно большие функции Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0 ̄, кроме, может быть, самой точки x 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 (на языке - ). Функцию f(x) называют бесконечно большой при x x 0 (в точке x 0 ), если M>0 >0 такое, что если x U * (x 0, ), то | f(x) |>M. Замечание. Условие | f(x) |>M означает, что f(x) U(, 1/M). Записывают: Говорят: «f(x) стремится к при x x 0 » «предел функции f(x) при x x 0 равен ».

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0 ̄, кроме, может быть, самой точки x 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (на языке последовательностей). Функцию f(x) называют бесконечно большой при x x 0, если для любой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к x 0, соответствующая последовательность значений функции {f(x n )} стремится к. ТЕОРЕМА 4. Определение бесконечно большой функции на языке - и на языке последовательностей – эквивалентны.

Частные случаи бесконечно больших функций: 1) f(x) – б.б. при x x 0 и f(x) 0, x U * (x 0, ). Тогда| f(x) | = f(x) >M, x U * (x 0, ) Записывают: Говорят: «f(x) стремится к + при x x 0 » «предел функции f(x) при x x 0 равен + ». 2) f(x) – б.б. при x x 0 и f(x) 0, x U * (x 0, ). Тогда| f(x) | = – f(x) > M f(x) < – M, x U * (x 0, ) Записывают: Говорят: «f(x) стремится к – при x x 0 » «предел функции f(x) при x x 0 равен – ».

СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ 1) Если f(x) – б.б. при x x 0, то функция 1/f(x) – б.м. при x x 0. Если (x) – б.м. при x x 0, то функция 1/ (x) – б.б. при x x 0. (связь бесконечно больших и бесконечно малых) 2) Если f(x) и g(x) – б.б функции одного знака, то их сумма f(x) + g(x) – б.б. того же знака. 3)Если f(x) – б.б при x x 0, g(x) – ограниченна в некоторой окрестности U * (x 0, ), то их сумма f(x) + g(x) – б.б. при x x 0. 4) Если f(x) и g(x) – б.б. при x x 0, то их произведение f(x) g(x) – тоже б.б. при x x 0.

5)Если f(x) – б.б. при x x 0, g(x) – имеет предел при x x 0, причем то их произведение f(x) g(x) – б.б. при x x 0. 6) Если f(x) – б.б. при x x 0 и x U * (x 0, ) имеет место неравенство| f(x) | < | g(x) | (| f(x) | | g(x) |), то функция g(x) тоже является б.б. при x x 0. 7) Пусть f(x) и g(x) – б.б. одного знака при x x 0 и >0 такое, чтоf(x) (x) g(x), x U * (x 0, ). Тогда функция (x) тоже является б.б. того же знака при x x 0. (лемма о двух милиционерах для б.б. функций)

4. Односторонние пределы. Условие существования (x 0 ) Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0, кроме, может быть, самой точки x 0. ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1) Число A называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к x 0 слева (в точке x 0 слева), если >0 >0 такое, чтоесли x удовлетворяет условию 0 < x 0 – x 0 >0 такое, что если x удовлетворяет условию 0 < x – x 0

3) Говорят, что предел функции f(x) в точке x 0 слева равен + (– ) (функция стремится к + (– ) при x, стремя- щемся к x 0 слева), если M>0 >0 такое, что если x удовлетворяет условию 0 < x 0 – x M ( f(x) < –M). 4) Говорят, что предел функции f(x) в точке x 0 справа равен + (– ), если M>0 >0 такое, что, если x удовлетворяет условию0 < x – x 0 M ( f(x) < –M). Обозначают: – предел f(x) в точке x 0 слева, – предел f(x) в точке x 0 справа. Если x 0 = 0, то пределы слева и справа обозначают:

ТЕОРЕМА 5 (необходимое и достаточное условие существова- ния предела f(x) при x x 0 и x 0 ). Функция f(x) имеет предел (конечный) при x x 0 существуют конечные и равные между собой односторонние пределы функции f(x) при x x 0. При этом ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Замечания. 1)Определение одностороннего предела дано на языке -. Определение одностороннего предела на языке последовательностей дается так же как и предела при x x 0 с той лишь разницей, что рассматриваются только {x n } x 0, x n < x 0 в случае левого предела и {x n } x 0, x n > x 0 в случае правого предела. 2)Все свойства пределов и бесконечно больших остаются справедливыми и для односторонних пределов.

5. Замечательные пределы Название замечательных пределов в математическом анализе получили следующие два утверждения: – первый замечательный предел; – второй замечательный предел. СЛЕДСТВИЯ ПЕРВОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА (доказать самостоятельно)

СЛЕДСТВИЯ ВТОРОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА (доказать самостоятельно) Замечание. Из формулы замены переменной 1-й и 2-й замечательный пределы и их следствия остаются верными, если вместо x будет стоять любая б.м. функция (x).

6. Сравнение б.м. и б.б. функций Пусть функции (x) и (x) – б.м. при x x 0. ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1) (x) называется бесконечно малой более высокого порядка чем (x) если Записывают: (x) = o( (x)). 2) (x) и (x) называются бесконечно малыми одного порядка, если где С и C 0. Записывают: (x) = O( (x)). 3) (x) и (x) называются эквивалентными, если Записывают: (x) ~ (x).

4) (x) называется бесконечно малой порядка k относи- тельно бесконечно малой (x), если бесконечно малые (x) и ( (x)) k имеют один порядок, т.е. если где С и C 0. ТЕОРЕМА 6 (о замене бесконечно малых на эквивалентные). Пусть (x), (x), 1 (x), 1 (x) – б.м. при x x 0. Если (x) ~ 1 (x), (x) ~ 1 (x), то ТЕОРЕМА 7 (о главной части бесконечно малой). Пусть (x) и (x) – б.м. при x x 0, причем (x) – б.м. более высокого порядка чем (x). Тогда (x) = (x) + (x) ~ (x). Б.м. (x) называют в этом случае главной частью бесконечно малой (x).

Замечание. Из 1-го и 2-го замечательных пределов и их следствий если (x) 0 при x x 0, то (таблица эквивалентных бесконечно малых)

Аналогично бесконечно малым сравниваются и бесконечно большие функции. А именно, если f(x) и g(x) – бесконечно большие при x x 0, то 1)f(x) называется бесконечно большой более высокого порядка чем g(x) если 2)f(x) и g(x) называются бесконечно большими одного порядка, если где С и C 0 ; 3)f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно большими (записывают: f(x) ~ g(x)), если 4)f(x) называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно большой g(x), если где С и C 0.

ТЕОРЕМА 8 (о замене бесконечно больших на эквивалентные). Пусть f(x), g(x), f 1 (x), g 1 (x) – б.б. при x x 0. Если f(x) ~ f 1 (x), g(x) ~ g 1 (x), то ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно ТЕОРЕМА 9 (о главной части бесконечно большой). Пусть f(x) и g(x) – б.б. при x x 0, причем g(x) – бесконечно большая более высокого порядка чем f(x). Тогда z(x) = f(x) + g(x) ~ g(x). Б.б. g(x) называют в этом случае главной частью бесконечно большой z(x). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно