Www.themegallery.com Company Logo Односторонние пределы Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х x 0 слева, если для любого >0 существует. - презентация

1 Company Logo Односторонние пределы Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х x 0 слева, если для любого >0 существует такое >0, что для всех х, отвечающих условию 0 < х 0 – x < выполняется неравенство |f(x) – А|0 существует такое >0, что для всех х, отвечающих условию 0 < х – x 0 < выполняется неравенство |f(x) – А|

2 Company Logo Односторонние пределы Теорема. (О существовании конечного предела.) Пусть x 0 R. Функция f(x) имеет конечный предел при х x 0 тогда и только тогда, когда существуют конечные и равные между собой пределы = =A, при этом. Замечание 1. Все свойства пределов остаются верными и в случае односторонних пределов. Замечание 2. Определение одностороннего предела на языке последовательностей дается также как и определение предела при х x 0 с той лишь разницей, что для последовательности {x n} должно выполняться условие x n x 0 для предела справа.

3 Company Logo Замечательные пределы Теорема 3. Предел отношения sin x к своему аргументу x равен единице, когда аргумент стремится к нулю, т. е. – 1 замечательный предел. (или ) – 2 замечательный предел. Следствия: 1), 2), 3).

4 Company Logo Сравнение бесконечно малых Пусть (x), (x) – б.м. при x x 0, где x 0 – конечно или б.б. Определение. Если, то говорят, что (x) б.м. более высокого порядка, чем (x) при х x 0, или что (x) - б.м. низшего порядка относительно (x). Обозначение: (x) =о( (x)). Определение. Если, где с = const 0, то (x) и (x) называют б.м. одного порядка. В частности, если, то (x) и (x) называются эквивалентными. Обозначение: (x) ~ (x). Определение. Б.м. (x) называется бесконечно малой порядка k относительно б.м. (x), если, где с = const 0.

5 Company Logo Теорема 1. (О замене б.м. на эквивалентную.) Если (x) ~ 1 (x), (x) ~ 1 (x) и, то, т.е. предел отношения б.м. не меняется при замене их эквивалентными бесконечно малыми:

6 Company Logo Таблица эквивалентностей Пусть (х) 0 при x x 0. Тогда при x x 0 ~ sin (х) ~ (х)ln (1 + (х)) ~ (х) arcsin (x) ~ (х)log a (1 + (х)) ~ (х)1/ l n a tg (х) ~ (х)e (х) - 1 ~ (х) arctg (х) ~ (х)a (х) - 1 ~ (х) 1n а 1 - cos (х) ~ 2 (х)/2 ~

7 Company Logo Теорема 2. Если (x) и (x) - б.м. при x x 0, причем (x) - б.м. более высокого порядка, чем (x), тогда (х) = (x) + (x) б.м. того же порядка что и (x). Замечание 1. Аналогично б.м. можно сравнивать и б.б., а именно если f(x) и (x)-б.б. при x x 0 и f(x) б.б. более высокого порядка, чем (x); f(x) б.б. более низкого порядка, чем (x); f(x) и (x) эквивалентные б.б. при x x 0. Замечание 2. Теоремы 1 и 2 для б.б. функций остаются верными с той лишь разницей, что главной частью б.б. функции является б.б. более высокого порядка.

8 LOGO Спасибо за внимание