Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применение к исследованию функций. § Производная функции Определение производной функции. Необходимое условие существования производной Пусть y = f(x) определена в точке x 0 и некоторой её окрестности. Придадим x 0 приращение x такое, что x 0 + x D(f). Функция при этом получит приращение f(x 0 ) = f(x 0 + x) – f(x 0 ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной функции y = f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента x, при x 0 (если этот предел существует и конечен), т.е. Обозначают: Производной функции y = f(x) в точке x 0 справа (слева) называется (если этот предел существует и конечен). Обозначают: – производная y = f(x) в точке x 0 справа, – производная y = f(x) в точке x 0 слева.

ТЕОРЕМА (необходимое и достаточное условие существо- вания производной). Функция y = f(x) имеет производную в точке x 0 в этой точке существуют и равны между собой производные функции справа и слева. Причем ТЕОРЕМА (необходимое условие существования производ- ной функции в точке). Если функция y = f(x) имеет производную в точке x 0, то функция f(x) в этой точке непрерывна. Замечание. Непрерывность функции в точке x 0 не является достаточным условием существования в этой точке производной функции. Например, функция y = | x | непрерывна на всей области опре- деления, но не имеет производной в точке x 0 = 0.

Определение. Пусть функция f( x ) определена на (a,b) и непрерывна в т. x 0 из этого промежутка (a,b). Тогда приращению x отвечает приращение y = f( x 0 + x ) – f( x 0 ). Если приращение y может быть представлено в виде суммы линейной относительно x б.м.ф и б.м.ф высшего порядка малости относительно x: y = А. x + О ( x )(А=const) то функцию f( x ) называют дифференцируемой в точке x 0. А. x – дифференциал функции f( x ) в точке x 0 Обозначают: Теорема. Функция дифференцируема в точке т. и т.т., когда она имеет производную в этой точке. Следствие.

Геометрический смысл дифференциала Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в этой точке, соответствующему приращению аргумента.

Соответствие x 0 f (x 0 ) является функцией, определенной на множестве D 1 D(f). Операцию нахождения для функции y = f(x) её производной функции называют дифференцированием функции f(x). УПРАЖНЕНИЕ. Доказать по определению, что (sinx) = cosx, (cosx) = –sinx, x (e x ) = e x, (a x ) = a x lna, x

Физический и геометрический смысл производной 1) Физический смысл производной. Если функция y = f(x) и её аргумент x являются физическими величинами, то производная f (x) – скорость изменения величины y относительно величины x. ПРИМЕРЫ. а)Пусть S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t. Тогда производная S (t 0 ) – скорость в момент времени t 0. б)Пусть q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t. Тогда q (t 0 ) – скорость изменения количества электричества в момент времени t 0, т.е. сила тока в момент времени t 0. в)Пусть m = m(x) – масса отрезка [a ; x]. Тогда m (x) – скорость изменения массы в точке x 0, т.е. линейная плотность в точке x 0.

2) Геометрический смысл производной. Пусть – некоторая кривая, M 0 – точка на кривой. Любая прямая, пересекающая не менее чем в двух точках, называется секущей. Касательной к кривой в точке M 0 называется предельное положение секущей M 0 M 1, если точка M 1 стремится к M 0, двигаясь по кривой. Очевидно, что если касательная к кривой в точке M 0 существует, то она единственная.

Рассмотрим кривую y = f(x). Пусть в точке M 0 (x 0 ; f(x 0 )) она имеет невертикальную касатель- ную M 0 N. Таким образом, получили: f (x 0 ) – угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке M 0 (x 0 ; f(x 0 )). (геометрический смысл производной функции в точке). Уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке M 0 (x 0 ; f(x 0 )) можно записать в виде

Замечания. 1)Прямая, проходящая через точку M 0 перпендикулярно касательной, проведенной к кривой в точке M 0, называется нормалью к кривой в точке M 0. Т.к. для угловых коэффициентов перпендикулярных прямых справедливо равенство k 1 k 2 = –1, то уравнение нормали к y = f(x) в точке M 0 (x 0 ; f(x 0 )) будет иметь вид, если f (x 0 ) 0. Если же f (x 0 ) = 0, то касательная к кривой y = f(x) в точке M 0 (x 0 ; f(x 0 )) - горизонтальная прямая, уравнение которой y = f(x 0 ), а нормаль – вертикальная прямая, уравнение которой x = x 0.

2) Пусть кривая y = f(x) имеет в точке M 0 (x 0 ; f(x 0 )) вертикальную касательную M 0 N, – угол наклона секущей M 0 M 1 к Ox. Таким образом, если кривая y = f(x) имеет в точке M 0 (x 0 ; f(x 0 )) вертикальную касательную, то функция y = f(x) не имеет в точке x 0 производной. Так как в соседних с M 0 точках кривая y = f(x) имеет касательные и их угол наклона к оси Ox стремится к 90 при x 0, то x 0 является для функции f(x) точкой разрыва II рода, причем

Правила дифференцирования 1)Производная постоянной функции равна нулю, т.е. C = 0, где С – константа. 2)Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных, т.е. 3)Производная произведения находится по правилу: Замечание. Формула дифференцирования произведения может быть легко обобщена на случай большего числа множителей. Например,

, где С – константа. Говорят: «постоянный множитель выносится за знак производной». 5) Производная дроби находится по правилу: 6) Если функция (t) имеет производную в точке t, а функция f(u) имеет производную в точке u = (t), то сложная функция y = f( (t)) имеет производную в точке t, причем (правило дифференцирования сложной функции). 7) ТЕОРЕМА (о производной обратной функции). Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке x 0, причем f (x 0 ) 0. Если существует обратная функция x = (y), то она имеет производную в точке y 0 = f(x 0 ) и

УПРАЖНЕНИЯ. 1)Зная, что (sinx) = cosx, (cosx) = –sinx, (e x ) = e x, получить формулы 2)Используя теорему о производной обратной функции, доказать, что

По определению и с помощью правил дифференцирования находят производные основных элементарных функций (таблица производных). Производная любой элементарной функции находится с помощью таблицы производных и правил дифференцирования.

Производные высших порядков

§ Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций Условия монотонности функции

Необходимое условие существования экстремума функции

Теорема Ферма Геометрическая интерпретация y x M X0X0 X0+ΔxX0+Δx Замечание y x y=x 3 X 0 - x

Теорема Ролля Пусть функция y=f(x) а) непрерывна на отрезке [ a, b ] б) дифференцируема на интервале ( a, b ) в) f( a ) = f( b ) Тогда найдется хотя бы одна точка С ( a, b ), такая, что f '(С) = 0 f(a)=f(b)m y x M a b y x m a b или Возможные случаи

Теорема Лагранжа (о конечных приращениях) Пусть функция y = f( x ) а) определена и непрерывна на отрезке [ a, b ] б) дифференцируема на интервале ( a, b ). Тогда найдется хотя бы одна точка С ( a, b ), такая, что Геометрически y x A a b B b - a f(b)-f(a) tg =f ' (C) C C1C1 C2C2

Теорема Коши Пусть функции f( x ) и g( x ) а) непрерывны на отрезке [ a, b ] б) дифференцируемы на интервале ( a, b ) и g'( x ) 0. Тогда найдется хотя бы одна точка С ( a, b ), такая, что

Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши

Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в окрестности точки x = a и g'(x) 0 в окрестности x=a. Если и существует, то существует конечный предел, причем § Теорема Лопиталя (правило Лопиталя) Замечание 1. Если f' (x) и g' (x) удовлетворяют условиям теоремы Лопиталя, в окрестности точки x=a, то правило Лопиталя применяется к отношению производных:

г) тогда существует конечный предел, причем Замечание 2. Правило Лопиталя применимо и в случае x, т.е. если Теорема. ( Правило Лопиталя для случая/ ) Пусть функции f(x) и g(x) а) дифференцируемы в окрестности точки x = a б) в) g'(x) 0 в окрестности x=a.

Правило Лопиталя

§ Формула Тейлора и Маклорена Определение. Многочленом (полиномом) n - го порядка называется функция P n ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n где a 0, a 1, …, a n – коэффициенты многочлена, n – натуральные числа. Многочлен полностью определяется своими коэффициентами. Определение. Многочленом (полиномом) по степеням ( x – x 0 ) называется функция P n ( x ) = a 0 + a 1 ( x – x 0 ) + a 2 ( x – x 0 ) 2 + … + a n ( x – x 0 ) n. Определение. Формула называется формулой Тейлора для многочлена P n (x).

Теорема. Пусть функция f ( x ) определена на интервале (a, b), имеет в точке x (a, b) производные до n - го порядка включительно. Тогда при x x 0 функция f(x) сходится к своему многочлену Тейлора и можно записать f (x)= f (x 0 )+ f ( x 0 )(x – x 0 ) + f ( x 0 )(x – x 0 ) 2 + … + f (n) ( x 0 )(x – x 0 ) n +R n (x). Формула называется формулой Тейлора для функции f ( x ). Теорема. Разность между функцией f ( x ) и её многочленом Тейлора P ( x ) является б.м. функцией высшего порядка малости по сравнению с ( x – x 0 ) n f (x) – P (x) = R n (x) = O ( (x – x 0 ) n ) R n (x) - остаточный член в форме Пеано R n (x) = O ( (x – x 0 ) n ) в форме Лагранжа, где x 0 <

x y x0x0 x y=f(x) f(x) P(x) R n (x) f(x)=P(x)+R n (x)

sinx y x P 1 (x) P 2 (x) P 3 (x) P 4 (x) 0 π -π-π Формула Маклорена – частный случай формулы Тейлора при x 0 = 0

Стандартные разложения Маклорена Уметь получать разложения

§ ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ Определение. Функция y=f(x) называется а) возрастающей на (a,b), если x 1, x 2 ( a,b ) при x 1 f(x 2 ); c) невозрастающей на (a,b), если x 1, x 2 ( a,b ) при x 1 < x 2 f(x 1 )f(x 2 ); а) неубывающей на (a,b), если x 1, x 2 ( a,b ) при x 1 < x 2 f(x 1 )f(x 2 ). Пример невозрастающей функции x 1 < x 2 < x 3 f(x 1 )= f(x 2 ) > f(x 3 ) x y y=f(x)

Определение. Говорят, что f '(x) меняет знак в точке x 0, если существует окрестность точки x 0 : (x 0 -δ, x 0 +δ), в которой при x

Теорема. (Второй достаточный признак существования экстремума) Если в критической точке x 0 функции y=f(x) обращается в ноль не только первая производная, но и все последующие до (n-1)-й включительно, т.е. f '(x 0 )= f '' (x 0 )= f ''' (x 0 )=…= f (n-1) (x 0 )=0, а f (n) (x 0 ) 0, тогда x 0 будет точкой экстремума, если n – четное; x 0 не будет точкой экстремума, если n – нечетное. Характер экстремума определяется знаком f (n) (x 0 )0. При f (n) (x 0 ) 0 - в x 0 минимум. Теорема. (1 ый Достаточный признак существования экстремума) Пусть y=f(x) непрерывна в интервале, содержащем критическую точку x 0, дифференцируема во всех точках этого интервала, кроме может быть самой x 0, тогда а) если при переходе слева направо через x 0 производная f '(x) меняет знак с «+» на «-», то в точке x 0 функция f(x) имеет максимум; b) если знак производной меняется с «-» на «+», то в точке x 0 функция f(x) имеет минимум.

Теорема. (Достаточное условие выпуклости и вогнутости кривой) Пусть y = f (x) непрерывна на [ a,b ], и имеет в ( a, b ) производную до второго порядка включительно, тогда а) если во всех точках интервала ( a, b ) вторая производная функции f (x) отрицательна: f '' (x) < 0, то кривая на ( a, b ) выпукла; b) если во всех точках интервала вторая производная положительна: f '' (x) > 0, то кривая на ( a, b ) вогнута. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на ( a,b ), если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на ( a,b ). Кривая называется выпуклой. y x a b x Определение. Кривая обращена выпуклостью вниз на ( a,b ), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале. Кривая называется вогнутой. y x a b x

Теорема. ( Достаточное условие существования точки перегиба ) Пусть в точке x 0 выполнены необходимые условия существования точки перегиба, и пусть при переходе через эту точку f '' (x) меняет знак, тогда точка x 0 является точкой перегиба графика функции. Определение. Точка ( x 0 ;y 0 ), лежащая на кривой f(x), называется точкой перегиба функции y=f(x), если существует окрестность точки x 0 такая, что при x x 0 - по другую сторону касательной. y x x Следствие из достаточного условия выпуклости и вогнутости кривой. ( Необходимое условие существования точки перегиба ) Если вторая производная в некоторой точке x 0 равна нулю или не существует, то эта точка есть точка перегиба графика функции.

Асимптоты кривых Определение. Прямая называется асимптотой кривой y = f ( x ), если расстояние от точки M кривой f ( x ) до данной прямой 0 при неограниченном удалении т. М от начала координат. M y x O f(x) Опр. Прямая x=a называется вертикальной асимптотой графика функции f(x), если хотя бы один из пределов равен или -. Опр. Прямая y = k x + b называется наклонной асимптотой графика функции f ( x ) при x ±, если Теорема. ( Критерий существования наклонной асимптоты ) Для того, чтобы прямая y = k x + b была наклонной асимптотой, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы

Общий план исследования функции и построения графиков D(y) – область непрерывности Найти, охарактеризовать точки разрыва, выделить вертикальные асимптоты Четность, нечетность Периодичность Промежутки возрастания, убывания; точки min, max Промежутки выпуклости, вогнутости; точки перегиба Наклонные асимптоты графика функции Дополнительные точки: 1) пересечение с осями координат 2) f(x min ), f(x max ) 3) f(x перегиб ) Построение графика функции