Метод Эйлера Рассмотрим уравнение с начальным условием для определенности будем считать, что решение нужно получить для значений х > x 0.

1. выбирается достаточно малый шаг и строится система равноотстоящих точек 2. Вычисляются

При этом искомая интегральная кривая проходящая через точку заменяется ломанной с вершинами.

Для оценки погрешности на практике пользуются двойным просчетом: с шагом h и шагом h/2. Погрешность более точного значения (при шаге h/2) оценивают приближенно так: где - значение точного решения уравнения при, -приближенное значение полученное при вычислениях с шагом h. - приближенное значение полученное с шагом h/2.

Рассмотрим систему двух уравнений первого порядка с начальными условиями

Приближенные значения вычисляются для этой системы по формулам

Модификации метода Эйлера. 1) Метод Эйлера-Коши

Оценка погрешности в точке, полученная с помощью двойного пересчета, имеет вид: где - значение точного решения уравнения при, -приближенное значение полученное при вычислениях с шагом h. - приближенное значение полученное с шагом h/2.

2) другая модификация метода Эйлера заключается в итерационном уточнении значения на каждом шаге. В качестве нулевого приближения берут

Далее строится итерационный процесс Итерации продолжают до тех пор, пока для двух последовательных приближений не будет выполнено условие

Как правило, при достаточно малом h итерации быстро сходятся. Если после трех-четырех итераций не произошло совпадение нужного числа десятичных знаков, то следует уменьшить шаг расчета h.

Метод Рунге-Кутта. Рассмотрим уравнение с начальным условием

Если известно значение в точке, то вычисление приближенного значения в следующей точке производится по формулам :

Оценку погрешности метода можно получить с помощью двойного просчета по формуле