Содержание Понятие числовой последовательности Примеры числовых последовательностей Способы задания последовательностей Ограниченность числовых последовательностей Возрастание и убывание числовых последовательностей Возрастание и убывание числовых последовательностей Предел числовой последовательности Гармонический ряд Свойства пределов Примеры Горизонтальная асимптота графика функции Сумма бесконечной геометрической прогрессии Предел функции на бесконечности Предел функции в точке Непрерывность функции в точке

Понятие числовой последовательности Рассмотрим ряд натуральных чисел N: 1, 2, 3, …, n – 1, n, п + 1, … Функцию y = f(x), x N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y = f(n) или y 1, y 2, …, y n, … или {у n }. Величина у n называется общим членом последовательности. Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой у n = f(n), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n; эта формула называется формулой общего члена.

Примеры числовых последовательностей 1, 2, 3, 4, 5, … – ряд натуральных чисел; 2, 4, 6, 8, 10, … – ряд чётных чисел; 1, 4, 9, 16, 25, … – ряд квадратов натуральных чисел; 5, 10, 15, 20, … – ряд натуральных чисел, кратных 5; 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... – ряд вида 1/n, где n N; и т.д.

Способы задания последовательностей 1.Перечислением членов последовательности (словесно). 2.Заданием аналитической формулы. 3.Заданием рекуррентной формулы. Примеры: 1.Последовательность простых чисел: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; … 2.Арифметическая прогрессия: a n = a 1 + (n – 1)d 3.Геометрическая прогрессия: b n + 1 = b n q

Ограниченность числовой последовательности Последовательность {у n } называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа. Пример: -1, -4, -9, -16, …, -п 2, … - ограничена сверху 0. Последовательность {у n } ограниченна сверху, если существует число M такое, что для любого п выполняется неравенство у п М Число М называют верхней границей последовательности.

Ограниченность числовой последовательности Последовательность {у n } называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа. Пример: 1, 4, 9, 16, …, п 2, … - ограничена снизу 1. Последовательность {у n } ограниченна снизу, если существует число m такое, что для любого п выполняется неравенство у п m Число m называют нижней границей последовательности. Если последовательность ограничена и сверху и снизу, то ее называют ограниченной последовательностью.

Возрастание и убывание числовой последовательности Последовательность {у n } называют возрастающей последовательностью, если каждый ее член больше предыдущего: у 1 < y 2 < y 3 < y 4 < … < y n < y n+1 < … Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 2п – 1, … - возрастающая последовательность. Последовательность {у n } называют убывающей последовательностью, если каждый ее член меньше предыдущего: у 1 > y 2 > y 3 > y 4 > … > y n > y n+1 > … Пример: 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/(2п – 1), … - убывающая последовательность. Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными

Предел числовой последовательности Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу a при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение. Число а называется пределом числовой последовательности {u n } если для любого ε > 0 найдется такое число N = N(ε), зависящее от ε, что u n – a N

Предел числовой последовательности Это определение означает, что a есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к a при возрастании n. Геометрически это значит, что для любого ε > 0 можно найти такое число N, что начиная с n > N все члены последовательности расположены внутри интервала (a – ε, a + ε). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.

Рассмотрим последовательность: – гармонический ряд Если q< 1, то Если q> 1, то последовательность у n = q n расходится Если m N, k R, то

Свойства пределов Если,, то 3.предел частного равен частному пределов: 2.предел произведения равен произведению пределов: 1.предел суммы равен сумме пределов: 4.постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Примеры:

Это равенство означает, что прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика последовательности y n = f(n), то есть графика функции y = f(х), х N Горизонтальная асимптота графика функции х у y = f(x) 0 у = b

Сумма бесконечной геометрической прогрессии Приме р: Дано: b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + … + b n + … = 9; (b 1 ) 2 + (b 2 ) 2 + (b 3 ) 2 + (b 4 ) 2 + … + (b n ) 2 + … = 40,5. Найти: b 5. Решение: Ответ:.

Предел функции на бесконечности В этом случае прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x). х у y = f(x) 0 у = b Будем говорить, что функция f(x) стремится к пределу b при x, если для произвольного малого положительного числа ε можно указать такое положительное число M, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству |x| > M, выполняется неравенство |f(x) b| < ε.

Предел функции в точке Функция y = f(x) стремится к пределу b при x a, если для каждого положительного числа ε, как бы мало оно не было, можно указать такое положительное число δ, что при всех x a из области определения функции, удовлетворяющих неравенству |x a| < δ, имеет место неравенство |f(x) b| < ε. х y = f(x) 0 b у а

Непрерывность функции в точке Функцию y = f(x) называют непрерывной в точке x = a, если выполняется условие Пример ы: