Предел и непрерывность функции одной переменной. Понятие функции Функцией называется отношение, при котором каждому элементу множества X соответствует.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Лектор Белов В.М г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Бесконечно большие последовательности Предел функции (определение и свойства.
Advertisements

Рассмотрим функцию y = f(x) с областью определения D R. Определение предела функции по Коши: число А называется пределом функции f в точке x 0, если она.
Y=f(x) ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА Величина х называется переменной, если она принимает различные значения. 1. Последовательность –переменная величина. Пример:
Company Logo Предел функции по Коши Пусть функция у = f(x) определена в окрестности точки x 0. В самой точке x 0 функция может быть.
Определение функции n переменных. Геометрическая интерпретация в случае задания функции двух переменных. Задание функций. Классификация множеств пространства.
Ведение в Математический анализ – часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются с помощью пределов. § Понятие функции Основные понятия Пусть.
Предел и непрерывность функции одной переменной. Бесконечно малые функции Пусть функция определена в окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки.
Непрерывность функции Рассмотрим функцию f(x), определенную в некоторой окрестности точки Функция f(x) называется 1) она имеет предел в точке если 2) этот.
Предел функции Лекция 1. Ведение в Математический анализ – часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются с помощью пределов. § Понятие.
Учебное пособие по дисциплине «Элементы высшей математики» Преподаватель: Французова Г.Н.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Предел функции (свойства пределов, бесконечно большие и их свойства,
§4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной.
Функции и их свойства Автор: Семенова Елена Юрьевна y y = f(x) 0 x МОУ СОШ 5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный.
Непрерывность функций Лекция 3. Непрерывность Функция f(x), определенная на множестве Х, называется непрерывной в точке, если 1)она определена в этой.
Глава 11 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1 Многомерное пространство. Понятие функции нескольких переменных 1.
ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Пусть Х – числовое множество. Правило, сопоставляющее каждому числу х из Х некоторое число у (единственное), называют числовой функцией.
Предел и непрерывность функции.. Бесконечно малая и бесконечно большие величины. Переменная величина α называется бесконечно малой, если она изменяется.
Ведение в Математический анализ – часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются с помощью пределов. Классификация Чисел.
Если каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в соответствие определенное число a n, то говорят, что задана числовая последовательность.
Бер Л.М. Введение в анализ ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег.282 от Предел функции по Гейне Пусть функция у = f(x) определена в окрестности точки x 0. В самой.
Транксрипт:

Предел и непрерывность функции одной переменной

Понятие функции Функцией называется отношение, при котором каждому элементу множества X соответствует единственный элемент множества Y y = f(x) Х – область определения функции; x – аргумент; -множество значений функции.

Функции f и g равны, если 1) области определения совпадают; 2) Пример: Равенство функций

1. Последовательность 2. («эн-факториал») Примеры.

3. 4. наибольшее целое число, не превосходящее x:

Аналитическое задание функции явно заданные функции: пример: неявно заданные функции: пример: параметрически заданные функции : пример:

область определения = область существования Примеры:

Графический способ задания функции Контрпример: Функция Дирихле

Табличный способ задания функции

Элементарные свойства функций монотонность; четность/нечетность; периодичность; нули функции; и т.п.

Предел функции в точке

Число А называется пределом функции f(x) в точке a, если верно неравенство Определение (Коши) для любого, которое может быть сколь угодно малым, найдется такое что при всех удовлетворяющих условию

Примеры. 1. Показать, пользуясь определением предела, что определена всюду, включая точку а=1:f(1)=5. Функция

Геометрическая интерпретация определения предела Число А есть предел f(x) при x, стремящемся к а, если для любой - окрестности точки А найдется такая - окрестность точки а, что для любого значения x а, попадающего в - окрестность точки а, значение - окрестности точки А. функции y=f(x) принадлежит

Замечание. Значение функции в точке a не влияет на предел функции в точке. Пример 1. Найти Решение:

Пример 2. Найти Решение:

Эквивалентное определение предела по Гейне Число А называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к а, если для любой последовательности.

Пример. Показать, что функция не имеет предела в точке x=0. в точке x=0 не имеет предела.

Теоремы о пределах

Теорема 1(единственность предела) Если функция f(x) имеет предел в точке a, то этот предел единственный.

Доказательство: Пусть Докажем, что

Определение. Ограниченные функции Функция y = f(x) называется ограниченной в окрестности точки a, если существует такое М >0 (М = const) и такие,что

Теорема 2 (ограниченность функции, имеющей предел) Если функция f(x) определена в окрестности точки a и имеет в точке a конечный предел, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

Доказательство: Пусть

Пример. Функция ограничена в окрестности Предела в точке не имеет.

Теорема 3 (переход к пределу в неравенстве) Если для всех x из некоторой окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки a, и каждая из функций и в точке a имеет предел, то

Теорема 4 (предел промежуточной функции) Если для всех x из некоторой окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки a, и каждая из функций и в точке a имеют один и тот же предел A, то функция в точке a имеет предел, равный этому же числу А.

Определение предела функции в бесконечности Число А называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к бесконечности, верно неравенство если для любого найдется такое число М > 0, что как только

и График функции y=f(x) асимптотически приближается к прямой y=A при

Пример. Функция Показать, что Решение:

Предел функции Понятие функции. Определение предела функции в точке. Единственность предела. Ограниченность функции, имеющей предел. Переход к пределу в неравенстве. Предел промежуточной функции. Определение предела функции в бесконечности.