Производная и дифференциал.

Техника дифференцирования элементарных функций.

Правила дифференцирования.

1.Применение формул и правил дифференцирования. 1. Продифференцировать функцию:

2. Продифференцировать функцию:

3. Продифференцировать функцию:

4. Продифференцировать функцию:

5. Продифференцировать функцию:

6. Продифференцировать функцию:

7. Продифференцировать функцию:

Обратная функция и её дифференцирование. Пусть x= (y) – обратная функция для функции y=f(x). Теорема. Если функция y=f(x) имеет в точке х производную f (x) 0, то обратная функция x= (y) также имеет в соответствующей точке y=f(x) производную, причем или

Производная одной из двух взаимно обратных функций равна единице деленной на производную второй из этих функций.

Доказать: Доказательство. является обратной для функции Т.о.

Следствие: Доказательство.

Доказать: Доказательство. является обратной для функции Т.о.

x y x 0 y

Доказать: Доказательство. является обратной для функции Т.о.

x y x 0 y

Доказать: Доказательство. является обратной для функции Т.о.

Доказать: Доказательство. является обратной для функции Т.о.

2.Применение формул и правил дифференцирования. 8. Продифференцировать функцию:

9. Продифференцировать функцию:

10. Продифференцировать функцию:

Производная от сложной функции. Функция, заданная в виде y=f(g(x)),называется сложной функцией, составленной из функций g и f, или суперпозицией функций g и f. (функция, аргументом которой служит функция, называется сложной) элементарная функциясложная функция аргумент

элементарная функциясложная функция

Теорема: Если функция f(u) дифференцируема по u, а функция u(x) дифференцируема по х, то производная сложной функции y=f(u(x)) по независимой переменной х определяется равенством или

Доказательство: Пусть дана функция y=f(u(x)).

Примеры. Вычислить производные для функций: