На тему: «Треугольники» Выполнили: Ученицы 9б класса МСОШ Якубова Анастасия, Симушкина Вероника Руководитель: Радченко Л.А

О О ПППП РРРР ЕЕЕЕ ДДДД ЕЕЕЕ ЛЛЛЛ ЕЕЕЕ НННН ИИИИ ЕЕЕЕ В В ИИИИ ДДДД ЫЫЫЫ С С ВВВВ ОООО ЙЙЙЙ СССС ТТТТ ВВВВ АААА Т Т ЕЕЕЕ ОООО РРРР ЕЕЕЕ ММММ ЫЫЫЫ З З З АААА ДДДД АААА ЧЧЧЧ ИИИИ Н Н ЕЕЕЕ ВВВВ ЕЕЕЕ РРРР ОООО ЯЯЯЯ ТТТТ НННН ОООО,,,, Н Н Н Н ОООО Ф Ф Ф Ф АААА КККК ТТТТ !!!! !!!! !!!!

ТРЕУГОЛЬНИК – ЭТО ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФИГУРА, СОСТОЯЩАЯ ИЗ ТРЁХ ТОЧЕК, СОЕДИНЁННЫХ МЕЖДУ СОБОЙ ОТРЕЗКАМИ ТОЧКИ – ВЕРШИНЫ. ОТРЕЗКИ – СТОРОНЫ. ДОМОЙ

ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ТУПОУГОЛЬНЫЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ОСТРОУГОЛЬНЫЕ РАВНОБЕДРЕННЫЕ

ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ РАВНОБЕДРЕННЫХ РАВНОБЕДРЕННЫХ РАВНОБЕДРЕННЫХ ПОДОБНЫХ ПОДОБНЫХ ПОДОБНЫХ РАВНОСТОРОННИХ РАВНОСТОРОННИХ РАВНОСТОРОННИХ ДОМОЙ

об отношении площадей подобных треугольников об отношении площадей подобных треугольников об отношении площадей подобных треугольников об отношении площадей подобных треугольников о средней линии треугольника о средней линии треугольника о средней линии треугольника о средней линии треугольника Пифагора Пифагора Пифагора ДОМОЙ

отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. в меню ДОКАЖЕМ? S : S = K

Теорема: средняя линия ll ll одной из его сторон и = ½ этой стороны. – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА Докажем? А С В 2 1 M N в меню

MN MN – средняя линия. BMN BMN и BAC BAC ~по 2 признаку подобия, поэтому 1 = углу 2 и MN = ½АС. А С В 2 1 M N в меню ДОМОЙ

АВС подобен АВ С. АВС подобен АВ С. Так как угол А равен углу А => S:S1=AB*AC:A B * A C. По формулам имеем: АВ:A B =k, AC:A С =k S : S = K А В С А В С в меню ДОМОЙ

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. b c a с²= а²+b² Докажем? в меню

Рассмотрим прямоугольный треугольник Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c. Достроим треугольник до квадрата со стороной Достроим треугольник до квадрата со стороной a + b так, как показано на рисунке. a + b так, как показано на рисунке. Площадь этого квадрата равна (a +b)² С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников. Площадь каждого из равна ½ab. Площадь квадрата S=4*½ ab+c²= 2ab+c² Площадь квадрата S=4*½ ab+c²= 2ab+c² Таким образом, (a+b)²=2ab+c², откуда c²=a²+b². a a b b bbbbbbbb c c c c a a b в меню ДОМОЙ

Равнобедренный - треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны – боковые стороны. Третья сторона – основание основание Б о к о в а я с т о р о н а Б о к о в а я с т о р о н а в меню ДОМОЙ

У У гггг лллл ыыыы п п п п рррр ииии о о о о сссс нннн оооо вввв аааа нннн ииии ииии р р р р аааа вввв нннн ыыыы.... Биссектриса,,,, п п п п рррр оооо вввв ееее дддд ёёёё нннн нннн аааа яяяя к к к к оооо сссс нннн оооо вввв аааа нннн ииии юююю,,,, я я я я вввв лллл яяяя ееее тттт сссс яяяя м м м м ееее дддд ииии аааа нннн оооо йййй и и и и вввв ыыыы сссс оооо тттт оооо йййй.... ДОМОЙ

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой. A B C D Докажем? в меню

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. A BC D в меню Докажем?

Пусть AD - биссектриса треугольника ABC. ABD = ACD (AB = AC по условию, AD - общая сторона, углы 1 и 2 равны, так как AD – биссектриса). Из равенства этих треугольников следует, что углы B и C равны. Теорема доказана. A BC D Рассмотрим равнобедренный ABC с основанием BC и докажем, что углы B и C равны. в меню ДОМОЙ

ABC – равнобедренный с основанием BC. AD - его биссектриса. AD - его биссектриса. Из = ABD и ACD => точка D – середина стороны BC, AD – медиана треугольника ABC. Так как углы 3 и 4 смежные и =, то они прямые. => отрезок AD является также высотой треугольника ABC. Теорема доказана. Мы установили, что биссектриса, медиана и высота, проведённые к основанию, совпадают. Поэтому : 1. высота = биссектриса = медиана. A B C D в меню ДОМОЙ

Начертите треугольник ABC с тремя острыми углами и треугольник MNP, у которого угол M тупой. С помощью чертёжного угольника проведите высоты каждого треугольника. С помощью чертёжного угольника проведите высоты каждого треугольника. ДОМОЙ Решим ещё? Решим ещё?

Начертите прямую а и отметьте точки A и B, лежащие по разные стороны от неё. С помощью чертёжного угольника проведите из этих точек перпендикуляры к прямой а. ДОМОЙ Решим ещё? Решим ещё?

Начертите треугольник. С помощью масштабной линейки отметьте середины сторон и проведите медианы треугольника. ДОМОЙ Решим ещё? Решим ещё?

ДОМОЙ

Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите его биссектрисы. Решим ещё? Решим ещё? ДОМОЙ

Начертите прямую а и отметьте точки А и В, лежащие по разные стороны от прямой а. С помощью чертёжного угольника проведите из этих точек перпендикуляры к прямой а. Решим ещё? Решим ещё? ДОМОЙ

Начертите три равнобедренных треугольника так, чтобы угол, лежащий против основания, был: а) острым б) прямым в) тупым Решим ещё? Решим ещё? ДОМОЙ

В равнобедренном треугольнике основание в 2 раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника. Решим ещё? Решим ещё? ДОМОЙ

Докажите, что в равнобедренных треугольниках медианы, проведенные к равным сторонам, равны. Решим ещё? Решим ещё? ДОМОЙ

Сторона АВ треугольника АВС равна 17 см, сторона АС в 2 раза больше стороны АВ, а сторона ВС на 10 см меньше стороны АС. Найдите периметр треугольника АВС. Решим ещё? Решим ещё? ДОМОЙ

Отрезки АС и BD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что АВС = СDА. Решим ещё? Решим ещё? ДОМОЙ

1 признак подобия: Теорема. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Доказательство: Пусть у треугольников АВС и А1В1С1, угол А равен углу А1, угол В равен углу В1. Докажем, что треугольник АВС подобен треугольнику А1В1С1. Пусть k = АВ/A1B1

2.Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30, равен половине гипотенузы. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором угол A – прямой, угол B = 30 градусов и, значит, что угол C = 60 градусам. Докажем, что AC = ½ BC A B C Приложим к треугольнику ABC равный ему треугольник ABD. Получим треугольник BCD в котором B = D = 60, поэтому DC = BC. Но AC = ½ DC. Следовательно, AC = ½ BC, что и требовалось доказать.

3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 градусам. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, у которого катет AC равен половине гипотенузы BC. Докажем, что угол AC = 30 градусам. Положим к треугольнику ABC равный ему треугольник ABD. Получим равносторонний треугольник BCD. Углы равностороннего треугольника равны друг другу, поэтому каждый из них равен 60 градусам. В частности, угол DBC = 60 градусам. Но угол DBC = 2 углам ABC. Следовательно, угол ABC = 30, что и требовалось доказать.

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, раны, то такие треугольники подобны. А А1 В В1 С1 С АВ/A1B1=AC/A1C1

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. А А1 В В1 С1С АВ /A1B1=BC/B1C1=CA/C1A1

S S` Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. S : S` = R² Докажем?

– это треугольники, у которых 2 угла равны соответственно, а стороны пропорциональны сходственным сторонам. ДОМОЙ в меню

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ: Задача 1 Задача 1 Задача 2 Задача 2 Задача 3 Задача 3 Задача 4 Задача 4

Признаки равенства треугольников: 1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. 2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны. 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Практика Практика !

ДОМОЙ