{ определения - примеры решения дифференциальных уравнений - математические модели в виде дифференциальных уравнений - циклоидальные часы - осцилляторы – примеры }

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y(x ) и производные искомой функции разных порядков. Порядок старшей производной определяет порядок уравнения. Пример ОДУ : Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = (x), которая будучи подставленной в уравнение, обращает его в тождество Решение часто называют интегралом дифференциального уравнения.

@ Найти решение дифференциального уравнения Проверка:

Решение Проверка : y = 1 x = 1 y=e 4 e -4x

Модель колебаний маятника. Почему маятниковые часы не являются точными ? L m (t) (t) Так как убывает с возрастанием t, то из последнего дифференциального уравнения, разделив переменные, получаем

Сделаем замену : Эллиптический интеграл 1-го рода

Задача : найти такую кривую, чтобы время необходимое для спуска по ней до фиксированного горизонта тяжелой материальной точки, бывшей в начальный момент времени в состоянии покоя, не зависело от исходного положения точки на этой кривой. Такой изохронной (таутохронной) кривой оказалась циклоида. Х. Гюйгенс в 1673 год сконструировал точные часы. Он построил колебательную систему с постоянной амплитудой, не зависящей от начальных условий. Была предложена конструкция: в доске вырезается желоб в форме циклоиды. По нему катится шарик. Трение отсутствует.

x y0y0 Y Из закона сохранения энергии: Пусть x 0,y 0 – координаты исходного положения точки M (центра шарика) и – значение параметра из уравнения. Когда шарик окажется в положении N( ), то его уровень понизится на расстояние M N y h

Свободные и вынужденные колебания описываются ДУ 2-го порядка Если уравнение продифференцировать еще раз, то уравнение колебаний примет вид ДУ 2-го порядка.