МНОГОГРАННИКИ Типовые задачи В-9

1.Найдите квадрат расстояния между вершинами D и С 2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. А К К В С М М С1С1 D1D1 A1A1 B2B2 C2C2 D2D2 A2A2 D B1B1 AC 2 – диагональ прямоугольника DMC 2 D 2 DC 2 2 = DM 2 + MC 2 2 DM = D 2 C 2 = 1 MC 2 = AA 2 = 2 DC 2 2 = = 5 Ответ: 5 По т.Пифагора:

2. Найдите расстояние между вершинами А и С 2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. А К К В С М М С1С1 D1D1 A1A1 B2B2 C2C2 D2D2 A2A2 D B1B1 AC 2 – диагональ прямоугольного параллелепипеда d 2 = a 2 + b 2 + h 2 AC 2 2 = AK 2 + AD 2 + AA 2 2 AK = D 2 C 2 = 1 AD = A 2 D 2 = 2 AA 2 = 2 AC 2 2 = = 9 AC 2 = 3 Ответ: 3

3. Найдите расстояние между вершинами В 1 и D 2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 C2C2 B2B2 D2D2 A2A K M F N KB1B1 C1C1 N F D2D2 A2A2 M B 1 D 2 – диагональ прямоугольного параллелепипеда d 2 = a 2 + b 2 + h 2 B 1 D 2 2 = KB KM 2 + KA 2 2 KB 1 = AB = 2 KM = A 2 D 2 = 2 KA 2 = ½. AA 2 = 1 B 1 D 2 2 = = 9 B 1 D 2 = 3 Ответ: 3

A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 C2C2 B2B2 D2D2 A2A Найдите угол АBD многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте градусах. ABD – угол, образованный стороной и диагональю квадрата ABCD: АВ = 2, AD = A 2 D 2 = 2 Диагональ квадрата делит прямой угол пополам, ABD = 45 0 Ответ: 45

A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 C2C2 B2B2 D2D2 A2A Найдите тангенс угла B 2 A 2 C 2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте градусах. B 2 A 2 C 2 – угол, образованный стороной и диагональю прямоугольника А 2 В 2 С 2 D 2 : Ответ: A2A2 B2B2 C2C2 D2D2

A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 C2C2 B2B2 D2D2 A2A Найдите угол САD 2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте градусах. CAD 2 – угол ACD 2, стороны которого равны: АС = AD 2 = CD 2 АС – диагональ квадрата ABCD : AB = 2, AD = A 2 D 2 = 2 АD 2 – диагональ квадрата AA 2 D 2 D : AA 2 = 2, A 2 D 2 = 2 СD 2 – диагональ квадрата CKD 2 D : CD = AB = 2, DD 2 = 2 K ACD 2 – правильный, CAD 2 = 60 0 Ответ: 60

7. Найдите квадрат расстояния между вершинами В 2 и D 3 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. B 2 D 3 – диагональ прямоугольного параллелепипеда A 2 B 2 C 2 D 2 A 3 B 3 C 3 D 3 d 2 = a 2 + b 2 + h 2 a = A 2 B 2 = C 3 D 3 = 1 b = B 2 C 2 = BC = 3 H = B 2 B 3 = C 2 C 3 = 1 B 2 D 3 2 = A 2 B B 2 C B 2 B 3 2 B 2 D 3 2 = = 11 Ответ: 11

8. Найдите квадрат расстояния между вершинами В и D 2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. K M BD 2 – диагональ прямоугольного параллелепипеда KBCMA 2 B 1 C 1 D 2 d 2 = a 2 + b 2 + h 2 a = KB = A 2 B 2 + B 2 B 1 = = 2 b = BC = 3 H = BB 1 = CC 1 = 1 BD 2 2 = KB 2 + BC 2 + BB 1 2 BD 2 2 = = 14 Ответ: 14

9. Найдите квадрат расстояния между вершинами А и С 3 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. K M F E AC 3 – диагональ прямоугольного параллелепипеда AKMDFB 3 C 3 E d 2 = a 2 + b 2 + h 2 a = AK = AB - KB = = 2 b = KM = BC = 3 h = KB 3 = MC 2 + C 2 C 3 = = 2 AC 3 2 = AK 2 + KM 2 + KB 3 2 AC 3 2 = = 17 Ответ: 17

10. Найдите тангенс угла С 2 С 3 В 2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. B2B2 C2C2 C3C3 B 2 C 2 = BC = 3 C 2 C 3 = 1 Ответ: 3

11. Найдите тангенс угла С 3 D 3 В 3 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. B3B3 C3C3 D3D3 B 3 C 3 = BC = 3 C 3 D 3 = 1 Ответ: 3

12. Найдите квадрат расстояния между вершинами D и С 2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. K DC 2 – диагональ прямоугольного параллелепипеда CDEKMTNC 2 d 2 = a 2 + b 2 + h 2 a = CD = FE – FK = 2 – 1 = 1 b = DE = A 2 D 2 = 1 h = DT = FD 2 = 2 DC 2 2 = CD 2 + DE 2 + DT 2 BD 2 2 = = 6 Ответ: 6 M N T

13. Найдите угол D 2 EF многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. FD 2 = 2 FE = 2 Ответ: 45

14. Найдите угол EAD 2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. AD 2 – диагональ квадрата AFD 2 A 2 со стороной, равной 2 AЕ – диагональ квадрата AFЕТ со стороной, равной 2 Т N D 2 Е – диагональ квадрата FЕND 2 со стороной, равной 2 AD 2 = AE = D 2 E AED 2 – равносторонний, EAD 2 = 60 0 Ответ: 60