Метод конечных элемнтов Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С.

Основные этапы метода 1.Дискретизация области; 2.Получение матриц элементов; 3.Построение матрицы жесткости (общей матрицы для всей области) и вектора нагрузки; 4.Наложение граничных условий; 5.Решение системы уравнений; При этом свойства отдельного элемента выводится путем минимизации функционала задачи или применения формулы метода Галеркина после выбора аппроксимирующих функций.

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Дискретизация области Рисунок 2 Связи узлов структуры «Узлы с соседями» Рисунок 1 Разбиение области треугольными элементами Рисунок 3 Граничные элементы i j ГjГj j-1 j+1 D

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Структура связности элементов Элементы и узлы нумеруются глобальной системой. Для каждого элемента записываются номера принадлежащих ему узлов, определяя связь узловых точек элементов. Элемент Узел n1 n2 n3 n4 Тип Треуголь ник Прямоуг ольник 32365

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Неизвестные функции на элементе (1) Пусть U – вектор неизвестных системы, тогда вектор, образуемый векторами узловых неизвестных элементов, имеет вид: Верхний индекс n обозначает, что вектор распространяется на все узлы элемента, s – число узлов элемента. Тогда можно выразить неизвестные U внутри элемента через значения узловых неизвестных и интерполирующих функций: (2)

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Матрицы элементов Рассмотрим функционал для функции U вида F=F(U). Минимизируя его по отношению к элементам U n приводит к системе линейных алгебраических уравнений, связывающих элементы вектора U n с вектором нагрузки P. Эта система имеет вид: (3) Исходя из аппроксимации (2) можно записать: (4) Здесь i=1..s – номера узлов в локальной системе нумерации; u n – элементарный вектор узловых неизвестных для функции u.

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Матрицы элементов Рассмотрим обобщенное гармоническое уравнение: С граничными условиями: (6) (5) В соответствии с вариационной формулой Галеркина можно записать: (7)

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Матрицы элементов Интегрируя выражение (6) по частям, получим: (8) Примем для функции u в пределах элемента аппроксимацию в соответствии с выражением (2), тогда производные по пространственным координатам (9)

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Матрицы элементов Подставив функции u и ее производные в выражение (8), получим следующую систему алгебраических уравнений: Где K,M,P – матрицы конечного элемента, определяемые по формулам: (11) (10)

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Пример 1 Рассмотрим уравнение: С граничными условиями: (13) (12) Где - направляющие косинусы нормали по отношению к осям x,y.

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Пример 1 Если воспользоваться вариационной формулой Галеркина, то вместо уравнения (12) и граничных условий (13) можно записать: Выражение в левой части равенства (14) есть вариация функционала: (14) (15) Закон изменения функции u по полю конечного элемента можно аппроксимировать степенным полиномом вида: (16)

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Пример 1 Входящие в формулу (16) неизвестные параметры можно выразить через узловые значения функции в узловых точках 1,2,3. Для этого, использую зависимость (16) выпишем значения функции u в узловых точках элемента: Выразив отсюда неизвестные параметры, получим: (17) (18)

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Реализация. Общий алгоритм 1.Считывание данных из файла; 2.Определение типа жесткой границы; 3.Задание граничных условий (в зависимости от типа границы); 4.Формирование матрицы жесткости; 5.Вычисление вектора нагрузки; 6.Внедрение условий Дирихле (учет угловых точек); 7.Решение СЛАУ;

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Сбор глобальной матрицы Пусть count – число узлов области; countEll – число элементов разбиения; Do cell=1,countEll !*** Вычисляем матрицу K (локальная матрица элемента) ***! Do i=1,3 row=NOD(i,cell) Do j=1,3 col=NOD(i,j) A(row,col)= A(row,col)+K(i,j) End do

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С.