Теоремы умножения и сложения вероятностей Формула полной вероятности

Def: Условной вероятностью называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило. Условная вероятность обладает теми же свойствами, что и безусловная вероятность. # Из ящика, содержащего 4 белых и 7 чёрных шаров наудачу последно извлекаются 2 шара. Найти вероятность того, что 2-й шар - чёрный при условии, если первым был извлечён белый шар. Условная вероятность обладает теми же свойствами, что и безусловная вероятность. # Из ящика, содержащего 4 белых и 7 чёрных шаров наудачу последно извлекаются 2 шара. Найти вероятность того, что 2-й шар - чёрный при условии, если первым был извлечён белый шар.

ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Th: Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило. Th: Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило.

Следствие: Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причём вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились: # Из ящика, содержащего 4 кр., 6 зел., и 5 син. шаров наудачу последовательно извлекают 3 шара. Найти вероятность того, что первым будет извлечён красный шар, вторым – зелёный и третим – синий (извлечённые шары обратно в ящик не возвращаются). Решение: Следствие: Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причём вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились: # Из ящика, содержащего 4 кр., 6 зел., и 5 син. шаров наудачу последовательно извлекают 3 шара. Найти вероятность того, что первым будет извлечён красный шар, вторым – зелёный и третим – синий (извлечённые шары обратно в ящик не возвращаются). Решение:

Независимые события. Теорема умножения для независимых событий Пусть вероятность события В не зависит от появления события А. Пусть вероятность события В не зависит от появления события А. Def: Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т.е., если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности: Def: Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т.е., если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:

Свойство независимости событий взаимно, т.е., если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В. Th: Для независимых событий теорема умножения имеет вид Th: Для независимых событий теорема умножения имеет вид Def: Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называются зависимыми. Def: Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называются зависимыми.

Def: Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Def: Несколько событий называют независимыми в совокупности, если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Def: Несколько событий называют независимыми в совокупности, если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Следствие из Th умножения: Следствие из Th умножения: Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Следствия. Th: Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий. Th: Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий. Следствие: Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Следствие: Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Вероятность появления хотя бы одного события Th: Вероятность появления хотя бы одного из событий, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий Th: Вероятность появления хотя бы одного из событий, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Частный случай. Если события имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

Теорема сложения вероятностей совместных событий Th: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Th: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Замечание: При использовании формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми. Замечание: При использовании формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми.

# Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: Найти вероятность попадания при одном залпе (из обеих орудий) хотя бы одним из орудий. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обеих орудий) хотя бы одним из орудий. Ответ: р=0,94 Ответ: р=0,94

Формула полной вероятности Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместимых событий Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместимых событий Th: Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А. Th: Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А.

# Имеются 5 урн. В двух урнах по 2 белых и одному чёрному шаров. В одной 10 чёрных. В двух по 3 белых и одному чёрному шаров. Найти вероятность того, что вынутый наудачу выбранной урны шар окажется белым. Найти вероятность того, что вынутый наудачу выбранной урны шар окажется белым. Решение: Решение: