Переменная величина Функция Предел функции Основные теоремы о пределах Вычисление пределов

Переменной величиной называется величина, которая принимает различные численные значения. В противном случае она называется постоянной. Переменные величины: x, y, z, u Постоянные величины: a, b,c

Множество всех числовых значений переменной величины называется Областью изменений этой переменной. Например: областью изменений переменной x=cosα, для всевозможных α есть отрезок [-1;1], т.е. -1 x 1

Окрестностью данной точки Х 0 называется произвольный интервал (a;b), содержащий эту точку внутри себя. a x 0 b X Часто рассматривается ε - окрестность т. Х 0, когда т. Х 0 является Центром окрестности. x 0 - ε x 0 x 0 + ε X ε ε В этом случае число ε >0 называется радиусом ε -окрестности, (x 0 - ε ;x 0 + ε )

В случае, когда известны и область изменения переменной Х, и порядок, в кото- ром она принимает свои числовые значения, будем иметь дело с упорядоченной перемен- ной величиной. Например: 1. Переменная величина есть числовая последовательность Хn= 1/n, nЄN, или 1; 1/2; 1/3; 1/4; … 2. Арифметическая прогрессия 3. Геометрическая прогрессия

Переменная у называется функцией переменной х, если каждому значению х из множества Х ставится в соответствие по некоторому правилу одно определенное значение у из множества значений Y. x - независимая переменная, аргумент у – функция (зависимая переменная) X, D(y) - область определения функции Y, E(y) - множество значений функции Обозначения для функции: y; y(x); f(x); F(x); φ (x)

УbУb 0 a x Число b называется пределом функции y=f(x) при x, стремящимся к а, если для любого ε >0 существует число δ ( ε )>0 такое, что для всех хa, удовлетворяю- щих неравенству: |x-a|< δ, выполняется неравенство |f(x)-b|< ε. f(x)b при ха lim f(x)=b xa

Для любого ε >0 можно указать δ - окрестность точки а на оси Х такою, что для всех х из этой окрестности, кроме, быть может х=а, соответствующие значения у лежат в ε- окрестности точки b. У a- δ а а+ δ 0 X b+ε b b-ε

Функция f(x) называется бесконечно малой, при ха (х), если: limf(x)=0 ха Например: lim sinx =0, lim(1/x)=0, функции sinx (х0) и 1/х (х) есть бесконечно малые. х0 х (х)(х)

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций. 1.Функция, обратная по величине бесконечно большой, есть бесконечно малая. 2.Функция f(x), обратная по величине бесконечно малой, отличная от 0, есть бесконечно большая, т.е. limf(x)= ха

Если существует limf(x) и limg(x), то: xаxаxаxа 1.lim(f+g)= limf + limg 2.lim(fg)= limf limg 3.lim(f/g)= limf / limg, limg(x)0 4.limCf(x)= Climf(x), C= const. xаxаxаxаxаxа xаxа xаxаxаxа xаxаxаxаxаxа xаxа xаxа xаxа.

1.Некоторые наиболее употребительные пределы функций. lim(sinx/x)=1 - первый замечательный предел lim(1/x)= lim(1/x)= 0 lim q = 0,|q|0 limC=C, C=const xаxа xаxа x0 x n n

2. Пределы непрерывных функций. Функция f(x) называется непрерывной в т. х 0, если lim f(x) = f(x 0 ) Отсюда следует правило для вычисления пределов непрерывных функций. К непрерывным в их области определе- ния относятся все известные элементарные функции, а также многочлены. xx 0 Например: 1.lim cosх= cos0 = 1 2.lim arcsinX= arcsin1 = /2 3.lim e = e = 1 4.lim (x - 2x - 1) = 8-8-1= -1 x0 x1 x0 x2 x0 3 2

Пусть у=F(u(x)), т.е. у – сложная функция. Если F(u) и u(x) – известные элементарные функции, то: lim F(u(x)) = F(limu(x)) xa 3. Пределы сложных функций.

Примеры пределов сложных функций x0 (x)