III. Функции нескольких переменных. Определение. Если каждой паре действительных чисел (x; y) из области D по определенному правилу ставится в соответствие только одно число z из области Е, то говорит, что на множестве D задана функция двух переменных z = z(x, y). Значение z(a; b) функции z = z (x, y) есть значение этой функции, вычисленное при x = a, y = b.

Пример 1.. Найти значение z в т. М(1; -1).

Пример 2. Найти область определения функции. Такая функция вычисляется, если подкоренное выражение неотрицательно, т.е. 1 – x 2 – y 2 0 x 2 + y 2 1 Область есть указанный на рисунке круг.

Определение. Частной производной функции z = z(x, y) по аргументу x называется производная этой функции по x, при постоянном y. Обозначения: Частные производные.

Аналогично, частной производной функции z = z(x, y) по аргументу y называется производная этой функции по y при постоянном x. Обозначения:

Из определения следует, что на момент дифференцирования функция z является функцией одной переменной и, следовательно, при нахождении частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования функций одной переменной.

При дифференцировании полезна следующая таблица: x x ' = 1,x y ' = 0 y y ' = 1,y x ' = 0 c x ' = 0,c y ' = 0,c – const Примеры. 1.z = x 3 – 3x 2 y + 2y 3 + 1,z x ', z y ' - ? z x ' = (x 3 – 3x 2 y + 2y 3 + 1) x ' = (y – const) = (x 3 ) x ' – (3x 2 y) x ' + (2y 3 ) x ' + 1 x ' = = 3x 2 - 3y · (x 2 ) x ' = 3x 2 – 6xy

z y ' = (x 3 – 3x 2 y + 2y 3 + 1) y ' = (x – const) = (x 3 ) y ' – (3x 2 y) y + (2y 3 ) y ' + 1 y ' = = 0 – 3x 2 · y y ' + 2(y 3 ) y ' + 0 = -3x 2 + 6y 2 2.z = x y,z x ', z y ' - ? z x ' = (x y ) x ' = yx y-1, z y ' = (x y ) y ' = x y lnx (y – const) (x – const)

Полный дифференциал Пусть z=z(x, y), где x=x(u, v), y=y(u, v), u и v – независимые переменные. Тогда частные производные сложной функции z = z(x(u, v), y(u, v)) = f(u, v) находятся по формулам: (1) (2)

Пример. Найдем 6 частных производных, входящих в правые части равенств (1) и (2):

Эти 6 производных подставляются в (1) и (2): В данные выражения подставлять x(u, v) и y(u, v) и упрощать их необязательно. В каждом конкретном случае, когда необходимо вычислить z u и z v в т. М(х 0 ; у 0 ), рациональнее предварительно вычислять х и у в этой точке и полученные значения подставлять в (3) и (4).

Частные производные высших порядков Частными производными второго порядка функции z=z(x, y) называются частные производные от частных производных первого порядка.

Порядок дифференцирования указан в индексе пи прочтении слева направо. Последние две производные отличаются только порядком, называются смешанными и в случае их непрерывности равны. Пример. z = x 2 -2xy 2 Найти все частные производные 2-ого порядка и проверить равенство z xy = z yx

Вначале найдем частные производные первого порядка: z x = (x 2 -2xy 2 ) x = 2x-2y 2, z y = (x 2 -2xy 2 ) y = -4xy Теперь z xx = (2x-2y 2 ) x = 2, z yy = (-4xy) y = -4x z xy = (2x-2y 2 ) y = -4y, z yx = (-4xy) x = -4y Нетрудно видеть, что z xy = z yx Выполнение этого условия может служить критерием правильности нахождения частных производных 1-ого порядка и смешанных – 2-ого порядка.

Экстремум функции нескольких переменных Точка M(a; b) называется точкой максимума (минимума) функции Z(x, y), если существует такая окрестность точки M, что для всех других точек из этой окрестности Z(x, y) Z(a, b)) Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума. Соответствующее значение функции есть экстремум.

Находить экстремум согласно определению в общем случае бессмысленно. Выделить из области определения функции конечное число точек, претендующих на точки экстремума, помогает необходимое условие экстремума. «Точками экстремума могут служить только критические точки, т.е. точки из области определения функции, в которых все ее частные производные 1-ого порядка обращаются в нуль, или не существует хотя бы одна из них». Выделить из множества критических точек точки экстремума позволяют достаточные условия экстремума. Укажем на 2 из них.

Точками экстремума являются лишь те из критических точек, в окрестности которых приращение функции Z = Z(x, y) - Z(a, b) не меняет знака. При этом, если Z>0 (Z

Рассмотрим в критической точке М(a; b) дискриминант =АС-В 2, где А=z xx (a; b), C=z yy (a; b), B=z xy (a; b), или B=z yx (a; b). Тогда: 1) если >0, то М(a; b) - точка экстремума, а именно точка максимума при А 0 (или C>0); 2) если

Найти экстремум функции z=y 2 -4y+x 2 Найдем критические точки. Выпишем частные производные 1-ого порядка: z x =(y 2 -4y+x 2 ) x =2x z y =(y 2 -4y+x 2 ) y =2y-4 Приравниваем их к нулю: Пример. Пример. - критическая точка

Найдем дискриминант =АС-В 2. Для этого вначале вычислим частные производные 2-ого порядка: z xx =(2x) x =2 z yy =(2y-4) y =2 Из равных смешанных производных находят ту, которая получается проще, например, z xy : z xy =(2x) y =0 Производные существуют во всей Производные существуют во всей области определения. области определения.

Тогда A=z xx (0; 2)=2, C=z yy (0; 2)=2, B=z xy (0; 2)=0. Дискриминант =2·2-0 2 =4>0 => М(0; 2) точка экстремума. A=2>0 => М(0; 2) - точка минимума. Тогда z min = z(0; 2) = ·2 + 0 = -4 Ответ: z min =-4