Модели в виде системы одновременных уравнений

1.Авторегрессия Рассмотрим элементарную макроэкономическую модель (1.1) В приведенной форме модель (1.1) имеет вид (1.2) Из (1.2) видно, что COV(Y t,u t )0

2. Проблема идентификации уравнений Пример. Имеем элементарную модель конкурентного рынка (2.1) По результатам наблюдений необходимо получить оценки параметров a 0, a 1, b 0, b 1 Что доступно для наблюдений ? Равновесная цена p* t и соответствующие ей уровни спроса и предложения, причем Y s t =Y d t =Y* t

ptpt ytyt ydyd ysys E0E0 Графически это выглядит так p* t y* t Из приведенной формы уравнений модели видно

Вопрос. Как преодолеть эту проблему ? Вспомним, что на спрос влияет располагаемый доход (2.2) Что это дает ? ytyt ptpt p* t (x 1 )p* t (x 2 ) y* t (x 1 ) y* t (x 2 ) E1E1 E2E2 ysys yd2yd2 yd1yd1

Вывод. Введение в первое уравнение системы (2.1) дополнительной экзогенной переменной x t привело к тому, что второе уравнение стало идентифицируемо. Правило. Для устранения проблемы идентификации необходимо: 1. Дополнить уравнения системы дополнительными предопределенными переменными 2. Дополнительные переменные включаются в уравнения смежные с неидентифицируемыми Идентифицируемая модель конкурентного рынка (2.3)

Остаются вопросы : 1. Как определить, какие уравнения в модели являются неидентифицируемые 2. Как определить, какие уравнения в модели идентифицируемые

Ответ на первый вопрос дает теорема, которая имеет название « правило порядка » и формулирует необходимое условие идентифицируемости i- го уравнения модели Общий вид каждого уравнение модели в структурной форме можно записать как : где : G – количество эндогенных переменных в модели K – количество предопределенных переменных в модели (2.4)

Замечания. 1. В общем виде коэффициенты a ij, стоящие перед эндогенными переменными образуют матрицу A={a ij } размерностью GxG. Относительно матрицы А будем предполагать, что она не вырождена 2. Дополнительно будем предполагать, что i- ое поведен - ческое уравнение модели (2.4) может быть разрешено относительно переменной y it, т. е. предполагаем, что a ii =1 Последнее равенство называется условием нормализации Как правило, условие нормализации для поведенческих уравнений модели (2.4) выполняется автоматически

Необходимое условие идентифицируемости Теорема 1. Пусть i- ое поведенческое уравнение модели (2.4) идентифицируемо. Тогда справедливо неравенство M i ( пред ) G – M i ( энд ) – 1. (2.5) В нём : M i ( пред ) – количество предопределённых переменных модели, не включённых в i- ое уравнение ; M i ( энд ) – количество эндогенных переменных модели, не включённых в i- ое уравнение.

Замечание. Справедливость неравенства (2.5) является необходимым условием идентифицируемости i- го уравнения. Это значит, что, когда неравенство (2.5) несправедливо, то i- ое уравнение заведомо неидентифицируемо. Однако при выполнении неравенства (2.5) ещё нельзя сделать вывод о идентифицируемости данного уравнения Условие (2.5), именуемое правилом порядка, позволяет выявлять неидентифицируемые уравнения модели, но не даёт возможности отмечать её идентифицируемые уравнения Определение неидентифицируемых уравнений производится методом « от противного »: если условие (2.5) не выполняется для i- го уравнения, то оно неидентифицируемо

Задача. Показать, что оба уравнения модели (2.3) не являются неидентифицируемыми (2.3) Здесь : (y d t, y s t,p t ) – эндогенные переменные (G=3) (1, x t, p t-1 ) – предопределенные переменные (K=3) Для первого уравнения : М ( пред )=1, М ( энд )=1, М ( пред )=G- М ( энд )-1 (1=3-1-1) Для второго уравнения : М ( пред )=1, М ( энд )=2, М ( пред )>G- М ( энд )-1 (1>3-2-1)

Введем еще несколько понятий, связанных с уравнением (2.4) Пусть набор коэффициентов i- го уравнения модели Матрица A = (a ij ) является не вырожденной и будем считать, что любое уравнение (2.4) может быть решено относительно y i и приведено к нормализованному виду (a i =1) Определение. Ограничениями называется система из L i линейных однородных алгебраических уравнений которым априорно удовлетворяет вектор набора коэффициентов (2.6) коэффициентов i- го уравнения (2.7) (2.6)

Пример. Модель конкурентного рынка (2.3) (2.3) Коэффициенты её первого уравнения, такие : a 11 = 1, a 12 = 0, a 13 = -a 1, b 11 = -a 0, b 12 = -a 2, b 13 =0 Следовательно, вектор этих коэффициентов a 1 =(1, 0, -a 1, -a 0, -a 2,0) T (2.8)

Тогда, вектор (2.8) заведомо удовлетворяет двум (L = 2) ограничениям, которые можно представить в форме линейных однородных уравнений (2.7) относительно компонентов вектора (2.6) с матрицей a 1 =(1, 0, -a 1, -a 0, -a 2,0) T

Обозначим символом Ā расширенную матрицу коэффициентов структурной формы модели (2.4) (2.8) Теорема. (Правило ранга) i-ое уравнение модели (2.4) идентифицируемо тогда и только тогда, когда справедливо равенство (2.9) В нём символом rk обозначен ранг произведения матрицы (2.8) и R i T Условие (2.9) является необходимым и достаточным для идентифицируемости i-го уравнения модели

Пример. Проиллюстрируем процедуру использования критерия (2.9) на примере уравнений модели (2.11). Ее расширенная матрица (2.11) (2.10) Отметим, что для третьего уравнения модели (2.11) условие нормализации не выполняется. Однако это уравнение является тождеством, к которому проблема идентификации не имеет отношение.

Для первого уравнения модели (2.11) : Вычисляем значение критерия (2.9) (2.12) Проверяем условие (2.9): rk=G =2, следовательно, первое уравнение модели (2.11) неидентифицируемо

Для второго уравнения модели (2.11) имеем : Вычисляем значение критерия (2.9) Проверка условия (2.9): rk=G-1 2=3-1=2, следовательно, второе уравнение модели (2.11) идентифицируемо

Замечания. 1.Если условие (2.9) выполняется точно : rk( Ā R T i )=G-1, то уравнения модели точно идентифицированы 2. Если условие (2.9) выполняется не точно : rk( Ā R T i )>G-1, то уравнения модели сверхидентифицированы

Выводы. 1. При спецификации моделей в виде системы одновременных уравнений возникают две основные проблемы : - авторегрессионность уравнений модели - неидентифицируемость модели 2. Преодолеть проблему неидентифицируемости уравнений модели можно путем введения дополнительных предопределенных переменных в уравнения смежные с неидентифицируемыми