Теорема Франка Морлея ( ), американского ученого-математика, открытая им в 1894 году.

Теорема: Точки пересечения трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника Дано: Δ ABC Доказать: Δ ZYX – равносторонний AС B X Y Z

Теорема: Точки пересечения трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника AС B X Y Z Пусть А=3, B=3, C=3, тогда =180. Тогда + + =60. В треугольнике ABC сторона AC =2RsinB, поэтому в треугольнике AZC AC=2Rsin³, ZAC=, ZCA=. Применим к этому треугольнику теорему синусов: Т.к Z= и α+ + =60, то sinС=sin( )=sin( + )=sin(60- ), следовательно, согласно формуле, Доказательство:

Теорема: Точки пересечения трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника A С B X Y Z sin3 =4sin sin(60+ )sin(60- ), поэтому AZ=8Rsin sin sin(60+ ) Аналогично из треугольника ABY находим: AY=8Rsin sin sin(60+ ) Теперь по теореме косинусов из треугольника AZY можно найти ZY²: Доказательство:

Теорема: Точки пересечения трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника A С B X Y Z Преобразуем выражение в квадратных скобках. Для этого рассмотрим какой-нибудь треугольник, два угла которого равны (60+ ) и (60+ ). Такой треугольник существует, поскольку сумма этих углов меньше 180. Третий угол этого треугольника равен. Пусть r – радиус описанной около него окружности. Тогда его стороны равны: 2rsin(60+ ), 2rsin(60+ ) и 2rsin. Применим к нему теорему косинусов: Доказательство:

Теорема: Точки пересечения трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника AС B X Y Z Сокращаем на 4r², делаем вывод, что выражение в квадратных скобках равно sin². Следовательно, для стороны ZY окончательно получаем ZY=8R sin sin sin. В это выражение углы, и входят симметрично. Поэтому для выражений для XY и XZ будут такими же. Это означает, что треугольник XYZ – равносторонний. Доказательство: