Уравнения, содержащие знак модуля

а, если а0 |а|= -а, если а

1. |а|0 2. |а|=|-а| 3. |а|а 4. |ав|=|а| · |в| |а+в| |а|+|в| 7. |а+в|= |а|+|в|, если ав0 8. |а|+|в|=а+в, если а0 и в0 9. |а-в|= |а|+|в|, если ав0 10. |а|-|в|0, если а 2 - в 2 0

Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля, называют уравнениями, содержащими знак модуля. Алгоритм решения уравнений вида |f(х)|=а, а R э а0 |f(х)|=а f(х)=а или f(х)=-а

1. 2|х|-3=0; 2|х|=3; |х|=1,5; х=±1,5. Ответ: ±1,5.

2. 2|х|+3=0, т.к. 2|х|+3>0, то уравнение не имеет корней. Ответ: корней нет.

3. 3|х-1|-5=1; 3|х-1|=6; |х-1|=2; х-1=2 или х-1=-2 х=3 х=-1 Ответ: 3;-1.

4. |х 2 + х+1|=0, т.к. х 2 + х+1>0 при любом х, то уравнение корней не имеет. Ответ: корней нет.

5.||х|-2|=2; |х|-2=2 или |х|-2=-2; |х|=4 или |х|=0; х=±4 или х=0. Ответ: ±4; 0.

6. | х 2 – х-1|=1; х 2 – х-1=1 или х 2 – х-1 =-1; х 2 – х-2=0 или х 2 – х=0; D=1+8=9 или х(х-1)=0; х=(1±3):2 или х=0, х=1; х=2; х=-1. Ответ: ±1; 2;0.

7. х 2 –2| х|-3 =0; если х0, то х 2 –2 х-3 =0; D 1 =1+3=4; х=1±2; х 1 = 3>0, х 2 =-1

8.х|х|-7х+12=0; если х0, то х 2 -7х+12=0, D=49-48=1, х=(7±1):2, х 1 =4>0, х 2 =3>0. если х0, х 2 =(-7-97):2

Решите уравнения: 5 | х | -7=0; 4 | х-5 | -7=1; | х 2 + 5х+9 | =0; | х 2 + 5х+6 | =6; х | х | +6=0; х |х| + 5х-6=0.

Решения уравнения |f(х)|=|g(х)| равносильно решению двух уравнений: f(х)=g(х) или f(х)=-g(х)

1. |5х-4|=|3х+2|; 5х-4=3х+2 или 5х-4=-3х-2; 2х=6 или 8х=2; Х=3 или х=0,25. Ответ: 0,25; 3.

2. | х 2 –3 х|=|х-3|; х 2 –3 х=х-3 или х 2 –3 х=-х+3; х 2 -4х+3=0 или х 2 -2х-3=0; D 1 =4-3=1 или D 1 =1+3=4; х=2±1 или х= 1±2; х 1 =3, х 2 =1 или х 1 =3,х 2 =-1. Ответ: ±1; 3.

Уравнение |f(х)|=g(х) равносильно решению двух систем: 1) g(х) 0, f(х)=g(х); 2) g(х) 0, f(х)=g(х).

ИЛИ 3-х0, х+2=2(3-х); х3, х+2=6-2х; х3, 3х=4; х3, х=1. ОТВЕТ: Х=1. 3-х0, х+2=-2(3-х); х3, х+2=-6+2х; х3, х=8; корней нет.

ИЛИ 1) х0, х 2 +х-3=х; х0, х 2 -3=0; х0, х 2 =3; х0, х=±3; х= 3. ОТВЕТ: 1; 3 2) х0, х 2 +х-3=-х; х0, х 2 +2х-3=0; D 1 =1+3=4; х=-1±2; х =-30.

1 ВАРИАНТ 1.3|х|-5=4; 2.|х-2|-3=1; 3.|х+3|+6=0; 4.| х 2 –3 х|=-4; 5.| х 2 –3 х-4|=0; 6.|2х-3|=|х+1|; 7.| х 2 +3 х |=| х +3|. 2 ВАРИАНТ 1.2|х|-3=1; 2.|х-5|-2=1; 3.|х-7|+1=0; 4.| х 2 +3 х|=-5; 5.| х 2 –5 х-6|=0; 6.|3х-2|=|х-1|; 7.| х 2 +2 х |=| х +2|.

УРАВНЕНИЕ |F(Х)|=G(Х) РАВНОСИЛЬНО РЕШЕНИЮ ДВУХ СИСТЕМ: f (х) 0, f(х)=g(х); ИЛИ f (х)

ИЛИ х+3 0, х+3 =х 2 +х-6; х-3, х 2 =9; х-3, х=±3; х=±3. ОТВЕТ: ±3. х+3

ОТВЕТ:-8,-1,0. х+10, х 2 -4(х+1)+5х+4=0; х+10, х 2 -4х-4+5х+4=0; х+10, х 2 +х=0; х-1, х(х +1)=0; х=0 или х=-1. ИЛИ х+1

РЕШИТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО: 1. |х²-8|=2х, 2.|х²-х+3|=|х²+2х-5|, 3.х²+|x|-2=0, 4.x²-3х-4|х|:х=0.

1. |Х²-8|=2Х, 2х 0, или 2х0, х²-8=2х; х ²-8=-2х; х 0, х0, х²-2х-8=0; х ²+2х-8=0; D =1+8=9; х=1 ±3; х=-1 ±3; х =4>0, х =-4

ИЛИ х²-х+3= х²+2х-5, 3х=8, х=2 ОТВЕТ:2, (-1±17):4. х²-х+3=-х²-2х+5, 2х²+х-2=0, D=1+16=17, х = (-1±17):4.

Если х0, то х²+x-2=0, D=1+8=9, х=(-1 ±3):2 х =-2 0. Если х0, х =-1

Если х 0, то x²-3х-4=0, D=9+16=25, х=(3 ±5):2, х =4, х =-1. Если х

1.Найти нули всех подмодульных выражений, расположить их по мере возрастания на числовой оси. 2.На полученных интервалах определить знак каждого подмодульного выражения и раскрыть модули по определению. 3.Решить полученные уравнения.

1) Нули модулей: х-2=0, х=2 х-4=0, х=4. 2)Знаки подмодульных выражений: Х

3)Если х

1)Нули модулей: х=0, х-6=0, х=6. 2)Знаки подмодульных выражений: х

Если х

1)Нули модулей: х+2=0, х=-2. х-3=0, х=3. 2)Знаки подмодульных выражений: х

Если х