Принцип максимума Понтрягина и его экономические прило ­ жения

Проблема нахождения оптимальной траектории Вывод на орбиту некоторого груза требовал огромных затрат энергии. Поэтому весьма актуальной стала проблема выбора такой траектории стартового участка космической ракеты, при движении вдоль которой с той же затратой топлива можно было бы вывести на орбиту лишний килограмм полезного груза.

Решение проблемы В 1951 г. Л. С. Понтрягин опубликовал свой принцип максимума. Он предложил простую конструкцию, позволяющую сводить нестандартные задачи анализа к краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений - зада ­ чам трудным, но все же решаемым классическими методами численного ана ­ лиза.

Область применения Принцип максимума особенно важен в системах управления с максимальным быстродействием и минимальным расходом энергии, где применяются управления релейного типа, принимающие крайние, а не промежуточные значения на допустимом интервале управления.

Решение простейшей задачи по быстродействию Дано : Пусть точка движется по прямой в соответствии с законом где х - координата. Требуется найти управление и, переводящее точку из начального положения в начало координат за минимальное время Т (задача оптимального быстродействия). При этом скорость точки в конце траектории должна быть нулевой, а управление - удовлетворять условию

Применение принципа максимума Понтрягина к задаче Введем фазовые переменные Тогда движение управляемого объекта описывается системой двух дифференциальных уравнений первого порядка: Начальное положение при t 0 =0 и конечное положение (0, 0) фиксированы, а конечный момент времени Т не фиксирован.

Функция Гамильтона имеет вид Общее решение сопряженной системы легко выписывается в явном виде где С, D - постоянные.

Очевидно, что максимум функции Н по и U достигается при Таким образом, оптимальное управление и может принимать лишь два значения +1.