1 Гетероскедостичность и ее последствия 1 X Y = X Y X3X3 X5X5 X4X4 X1X1 X2X2 Наличие случайного возмущения приводит к размытости значений Y независимо от X. Для случайного возмущения предполагается выполнение ряда требований: условий теоремы Гаусса-Маркова.

2 Гетероскедостичность и ее последствия X3X3 X5X5 X4X4 X1X1 X2X2 1 X Y = X Y Распределение u для каждого наблюдения имеет нормальное распределение и нулевое ожидание, но дисперсия распределений различна.

3 Гетероскедостичность и ее последствия Условия обеспечивающие гомоскедастичность Условия обеспечивающие гомоскедастичность (однородность) случайных возмущений: 1. Нормальное распределение случайных возмущений для всех наблюдений. 2. Средние значения случайных возмущений в каждом наблюдении равно нулю. 3. Распределения одинаковы для всех наблюдений. Последствия нарушения условия гомоскедастичности случайных возмущений: Последствия нарушения условия гомоскедастичности случайных возмущений: 1. Потеря эффективности оценок коэффициентов регрессии, т.е. можно найти другие, отличные от МНК и более эффективные оценки. 2. Смещенность стандартных ошибок коэффициентов в связи с некорректностью процедур их оценки.

4 Гетероскедостичность и ее последствия В связи с тем, что оценка всех параметров модели, включая вид параметры закона распределения случайного возмущения, проводится по результатам случайной выборки, то справедливо говорить только о статистических гипотезах относительно выполнения предпосылок теоремы Гаусса- Маркова. Вспомним, как производится проверка статистических гипотез.

5 Методика проверки статистических гипотез Определение. Под статистической гипотезой понимается любое предположение о виде закона распределения случайной величины или значениях его параметров. Примеры статистических гипотез: Н 0 :(U имеет нормальный закон распределения). H 0 :(параметр а 0 =0) Н 1 :(параметр а 0 =1) Гипотезы H 0 и H 1 называются основной и альтернативной.

6 Методика проверки статистических гипотез Алгоритм проверки статистических гипотез. 1. Формулируется статистическая гипотеза H Искусственно формируется случайная величина «Z», закон распределения которой известен [P z (t,a 1, a 2 )], котoрая тесно связана с гипотезой. 3. Область допустимых значений Z делится на две части: 0 в которой гипотеза принимается и, в которой она отклоняется. Граница этих областей определяется из условия, что Z попадает в область 0 с заданной вероятностью «р». 4. По данным выборки вычисляется значение случайной величины Z и проверяется ее принадлежность область 0.

7 Методика проверки статистических гипотез Примеры. В схеме Гаусса-Маркова случайные переменные: называются дробью Стьюдента и подчиняются закону распределения Стьюдента. Критическое значение дроби Стьюдента находится из уравнения: Здесь: P t (q) функция плотности вероятности распределения Стьюдента, tкр – двусторонняя квантиль распределения, Р дов - значение доверительной вероятности, как правило Р дов =0.95/0.99

8 Методика проверки статистических гипотез В схеме Гаусса-Маркова переменная: подчиняется закону распределения Фишера и критическое значение этой дроби вычисляется из условия:

9 Методика проверки статистических гипотез Возможные ошибки при проверке статистических гипотез. Ошибка первого рода. Когда справедливая гипотеза отклоняется. Ошибка второго рода. Когда ложная гипотеза принимается.

10 Тест Готвальда-Квандта Данный тест предназначен для того, чтобы проверить гипотезу об отсутствии гетероскедастичности случайных возмущений в схеме Гаусса-Маркова. Случай уравнения парной регрессии. Имеем спецификацию модели в виде: Y t =a 0 + a 1 x t +u t Y t =a 0 + a 1 x t +u t Имеем выборку в объеме n наблюдений за переменными Y t и x t для оценки параметров этой модели. Задача: проверить гипотезу об отсутствии гетероскедастичности в полученной модели.

11 Тест Готвальда-Квандта В основе теста лежат два предположения. 1. Случайные возмущения подчиняются нормальному закону распределения. 2. Стандартные ошибки случайных возмущений σ(u t ) пропорциональны значениям регрессора x t.

12 Алгоритм применения теста Готвальда-Квандта Шаг 1. Имеющаяся выборка из n наблюдений сортируется по возрастанию значений регрессора х. Шаг 2. Полученная в результате сортировки выборка делится на три примерно равные части. Шаг 3. Для первой и третьей частей выборки строятся модели парной регрессии, т.е. для них вычисляются оценки параметров a 0 и a 1. В результате получаются две модели парной регрессии (для каждой части общей выборки): Y 1 =ã ã 1 1 x +u 1 (9.1) Y 1 =ã ã 1 1 x +u 1 (9.1) Y 3 =ã ã 1 3 x +u 3 (9.2) Исходя из принятых допущений, считается, что, если ошибки случайных возмущений в «первой» и «третьей» частях выборки будут равны, то условие гомоскедостичности выполняется.

13 Алгоритм применения теста Готвальда-Квандта Шаг 4. Для уравнений (9.1) и (9.2) вычисляются значения ESS 1 и ESS 3. ГдеESS=Σ(u i 2 )=Σ(y i -ã 0 -ã 1 x i ) 2 Шаг 5. Проверяется гипотеза о равенстве σ u 1 и σ u Формируется случайная переменная GQ в виде: В схеме Гаусса-Маркова переменная GQ имеет закон распределения Фишера.

14 Алгоритм применения теста Готвальда-Квандта 5.2. Вычисленное значение GQ сравнивается с критическим значением F кр (P дов,n 1,n 3 ): ЕслиGQ F кр (P дов,n 1,n 3 ) и1/GQ F кр (P дов,n 1,n 3 ), то гипотеза о гомоскедастичности случайных возмущений принимается. то гипотеза о гомоскедастичности случайных возмущений принимается. Случай уравнения множественной регрессии. Y t =a 0 +a 1 x 1t +a 2 x 2t +a 3 x 3t +u t Сортировка проводится по величине z=|x 1 |+|x 2 |+|x 3 |. Если тест дает отрицательный результат, алгоритм повторяется для каждого регрессора. В результате обнаруживается регрессор вызывающий гетероскедастичность. В результате обнаруживается регрессор вызывающий гетероскедастичность.

15 Алгоритм применения теста Готвальда-Квандта СтранаРасходыВВПСтранаРасходыВВП Люксембург 0,345,67 Швейцария 5,31101,7 Уругвай 0,2210,1 С.Аравия 6,4116 Сингапур 0,3211,3 Бельгия 7,15119,5 Ирландия 1,2318,9 Швеция 11,22124,2 Израиль 1,8120,9 Австралия 8,66141 Венгрия 1,0222,2 Аргентина 5,56153,9 Н.Зеландия 1,2723,8 Нидерланды 13,41169,4 Португалия 1,0724,7 Мексика 5,46186,3 Гонконг 0,6727,6 Испания 4,79211,8 Чили 1,2527,6 Бразилия 8,92249,7 Греция 0,7540,2 Канада 18,9261,4 Финляндия 2,851,6 Италия 15,95395,5 Норвегия 4,957,7 Англия 29,9535 Югославия 3,563 Франция 33,59655,3 Дания 4,4566,3 ФРГ 38,62815 Турция 1,667 Япония 61, Австрия 4,2676,9 США 181, ,04140,0821 0,01230,3276 0,53090,518 11, ,03712,6835 0,0711-8,187 0,00272,4453 0,98546, , ,24 Государственные расходы на образование в различных странах Fкр=3.0 Применение ф-ии «ЛИНЕЙН» Модель: Y= X (9.4)

16 Метод исправления гетероскедастичности Имеем: 1. Спецификацию модели: Y t =a 0 +a 1 x 1t +a 2 x 2t +a 3 x 3t +u t (9.1) 2. Выборку наблюдений за переменными {Y,x 1,x 2,x 3 } 3. Модель по этим данным гетероскедастична. 4. Известны значения σ(u t ) в каждом наблюдении. Задача: преобразовать модель так, чтобы случайные возмущения были гомоскедастичны.

17 Метод исправления гетероскедастичности Способ 1. Делится каждое уравнение наблюдений на свое σ(u t ) и получается: Тогда дисперсия случайного возмущения в каждом уравнении наблюдений есть: Модель (9.2) в каждом уравнении наблюдения имеет одинаковые дисперсии случайного возмущения равные 1. Недостаток способа – оценить σ(u t ) не возможно! (9.2)

18 Метод исправления гетероскедастичности Способ 2. Предполагаем, что σ(u t )=λx kt, где x kt регрессор «вызывающий» гетероскедастичность. Пусть для примера это регрессор x 2t. Уравнение (9.1) делится на значение этого регрессора. Дисперсия случайного возмущения при этом есть: (9.3) λ 2. Уравнения модели (9.3) имеют постоянную дисперсию случайного возмущения равную λ 2.

19 Метод исправления гетероскедастичности Рассмотренные способы устранения гетероскедастичности носят название «Взвешенный метод наименьших квадратов». Теорема. Если в схеме Гаусса-Маркова не выполняется предпосылка о гомоскедастичности случайных возмущений, то наилучшей линейной процедурой оценки параметров модели является: где: Р матрица ковариаций случайных возмущений в уравнения наблюдений:

20 Метод исправления гетероскедастичности СтранаY/ВВП1/ВВПСтранаY/ВВП1/ВВП Люксембург 0,0600,1764 Швейцария 0,0520,0098 Уругвай 0,0220,0987 С.Аравия 0,0550,0086 Сингапур 0,0280,0882 Бельгия 0,0600,0084 Ирландия 0,0650,0530 Швеция 0,0900,0081 Израиль 0,0860,0478 Австралия 0,0610,0071 Венгрия 0,0460,0451 Аргентина 0,0360,0065 Н.Зеландия 0,0530,0420 Нидерланды 0,0790,0059 Португалия 0,0430,0405 Мексика 0,0290,0054 Гонконг 0,0240,0363 Испания 0,0230,0047 Чили 0,0450,0363 Бразилия 0,0360,0040 Греция 0,0190,0249 Канада 0,0720,0038 Финляндия 0,0540,0194 Италия 0,0400,0025 Норвегия 0,0850,0173 Англия 0,0560,0019 Югославия 0,0560,0159 Франция 0,0510,0015 Дания 0,0670,0151 ФРГ 0,0470,0012 Турция 0,0240,0149 Япония 0,0590,0010 Австрия 0,0550,0130 США 0,0700,0004 0,02970,0438 0,14530,0105 0,00420,021 0, E-050, ,6280,0585 2,58620,0098 0,09360,0179 1, ,00030,0032 Применение ф-ии «ЛИНЕЙН» Относительные расходы на образование в различных странах Fкр=3.0 Модель: Y= X (9.5)

21 Метод исправления гетероскедастичности (9.5) (9.4) Диаграмма рассеяния и графики моделей с гетероскедастичными и гомоскедастичными случайными возмущениями.