Производная функции

Производная функции (1) Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (включая точку ). Определение 1. Определение 2. Касательной прямой l к графику функции в точке называется предельное положение секущей, когда Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. х y 0 M M l

Производная функции (2) Геометрический смысл производной. M M l Значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке где 0

Уравнение касательной к графику функции. Определение 3. Нормалью к графику функции в точке называется прямая N, проходящая через точку перпендикулярно касательной прямой Уравнение нормали к графику функции. Производная функции (3) l 0

Производная функции (4) Связь между существованием производной –и непрерывностью функции. –Теорема. –Доказательство.

Производная функции (5) Правила дифференцирования. Пусть Тогда Доказательство 1 правила (для суммы). 1 шаг. 2 шаг. 3 шаг.

Производная функции (6) –Таблица производных основных элементарных функций. –1. –2. –3. –4. –5. –6. –7. –8. –9. –

Производная функции (7) Вывод формулы 7:

Производная функции (8) Производная сложной функции. Теорема. 1. y(x) – сложная функция, то есть Доказательство. 1..Возьмем (предполагаем, что ) (ч.т.д.)

Производная функции (9) Примеры

Производная функции (10) Обратная функция. Определение. Пусть Функции называются взаимно обратными, если или Функция называется обратной к Функция называется обратной к 0 х y Y X Графиками взаимно обратных функций является одна и та же линия. 0 х y

Производная функции (11) Примеры. 1. Показательная функция и логарифмическая функция x x x y y y 1 1 Обычно x – аргумент y - функция Д.з. Построить график логарифмической функции при

Производная функции (12) 2. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции 0 x y Д.З. Построить графики других обратных тригонометрических функций.

Производная функции (13) Производная обратной функции. Теорема Пример. Вывод формулы 11 :

Производная функции (14) Функции, заданные параметрически. Определение 1. Говорят, что функция задана параметрически, если задана пара функций t называется параметром. Пример y 0 x x y

Производная функции (15) Определение 2. Говорят, линия L на плоскости XOY задана параметрически, если координаты точек М на линии являются функциями переменной t : Пример 1. Окружность Пример 2. Циклоида (Галилей,1690. Торричелли, Вивиани) Пример 3. Астроида (Мухаммед Насирэддин, 13 в., Николай Коперник,16 в., Альбрехт Дюрер, 16 в.) y y y x x x t R M(x,y) (t=0) Первая арка t R M(x,y)

Циклоида

Астроида

Производная функции (16) Производная функции, заданной параметрически. Теорема. Пусть –1. –2. –3. –4. –5.

Производная функции (17) Производные высших порядков. Определение 1. Производная называется производной первого порядка функции Определение 2. Производная от производной первого порядка называется производной второго порядка функции Определение 3. Производная от производной (n-1) -порядка называется производной n – порядка функции Пример.

Производная функции (18) Правило Лопиталя. –Теорема 1. –Пусть выполнены условия: –1) функции – являются бесконечно малыми – при ( или при ) ; –2) –3) –Тогда ( правило раскрытия неопределенности ) –Теорема 2. –Пусть выполнены условия: –1) функции – являются бесконечно большими – при ( или при ); –2) –3) –Тогда ( правило раскрытия неопределенности )

Правило Лопиталя Примеры