Линейная алгебра и аналитическая геометрия Лектор Ефремова О.Н г. Тема: Простейшие задачи векторной алгебры. Скалярное произведение векторов

3. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.5. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ координат свободных векторов в декартовом прямоугольном базисе: ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.6. Прямую, на которой выбрано направление, называют осью. Пусть – ось, – некоторый вектор. Пусть A 1 и B 1 – ортогональные проекции на ось точек A и B соответственно. Вектор назовем векторной проекцией вектора на ось.

ТЕОРЕМА 1.1. Координаты вектора a ̄ V (2) (V (3) ) в декартовом прямоугольном базисе i, j (i, j, k) есть проекции этого вектора на соответствующие координатные оси.

ТЕОРЕМА ) Если вектор a имеет в базисе e 1,e 2, …, e n координаты {α 1, α 2, …, α n }, вектор b имеет в том же базисе координаты {β 1, β 2, …, β n }, то вектор a + b будет иметь в базисе e 1,e 2, …, e n координаты {α 1 + β 1, α 2 + β 2, …, α n + β n }. 2) Если вектор a имеет в базисе e 1,e 2, …, e n координаты {α 1, α 2, …, α n }, то для любого числа λ вектор λa будет иметь в том же базисе координаты {λα 1, λα 2, …, λα n }.

ТЕОРЕМА 1.3 (критерий коллинеарности свободных векторов в координатной форме). Векторы a ̄ = {α 1 ; α 2 ; α 3 } и b ̄ = {β 1 ; β 2 ; β 3 } коллинеарны их координаты пропорциональны, т.е. Причем, если коэффициент пропорциональности k > 0, то векторы a ̄ и b ̄ – сонаправлены; если k < 0, то a ̄ и b ̄ – противоположно направлены.

ТЕОРЕМА 4 (связь координат вектора в разных базисах). Пусть e 1, e 2, …, e n и f 1, f 2, …, f n два базиса линейного пространства L. Причем имеют место равенства f 1 = τ 11 e 1 + τ 21 e 2 + … + τ n1 e n, f 2 = τ 12 e 1 + τ 22 e 2 + … + τ n2 e n, …………………………… f n = τ 1n e 1 + τ 2n e 2 + … + τ nn e n. Если вектор a имеет в базисе e 1, e 2, …, e n координаты {α 1, α 2, …, α n }, а в базисе f 1, f 2, …, f n – координаты {β 1, β 2, …, β n }, то справедливо равенство A = TB, где Матрицу T называют матрицей перехода от базиса e 1, e 2, …, e n к базису f 1, f 2, …, f n.

§2. Простейшие задачи векторной алгебры Пусть на плоскости (в пространстве) задана декартова прямоугольная система координат. Выберем в пространстве V (3) (V (2) ) декартов прямоугольный базис i, j, k (i, j).

ЗАДАЧА 2. Найти длину вектора, если известны его координаты в декартовом прямоугольном базисе. ЗАДАЧА 3. Известны координаты вектора. Найти координаты его орта. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Ортом вектора a ̄ называется вектор a ̄ 0, сонаправленный с вектором a ̄ и имеющий единичную длину.

Пусть, и – углы, которые вектор a ̄ о бразует с коорди- натными осями Ox, Oy и Oz соответственно. cos, cos и cos называются направляющими косинусами вектора a ̄. Координаты орта вектора a ̄ являются его направляющими косинусами. Замечание. Так как | a ̄ 0 | =1 и a ̄ 0 ={cos ; cos ; cos }, то cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1. Это равенство называют основным тождеством для направляющих косинусов вектора. Геометрический смысл координат орта вектора

ЗАДАЧА 4. Известны координаты концов отрезка. Найти координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Говорят, что точка M 0 делит отрезок M 1 M 2 в отношении ( –1), если Если > 0, то точка M 0 лежит между точками M 1 и M 2. В этом случае говорят, что точка M 0 делит отрезок M 1 M 2 во внутреннем отношении. Если < 0, то точка M 0 лежит на продолжении отрезка M 1 M 2. В этом случае говорят, что точка M 0 делит отрезок M 1 M 2 во внешнем отношении.

§3. Нелинейные операции на множестве векторов СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1) Скалярное произведение векторов коммутативно, т.е. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1.Скалярным произведением двух ненулевых векторов a ̄ и b ̄ называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними, т.е. число | a ̄ | | b ̄ | cos. Если a ̄ = 0 ̄ или b ̄ = 0 ̄, то скалярное произведе- ние векторов a ̄ и b ̄ полагают равным нулю. 1. Скалярное произведение векторов

2)Скалярное произведение ненулевых векторов a ̄ и b ̄ равно про- изведению длины вектора a ̄ на проекцию вектора a ̄ на вектор b ̄ (длины вектора b ̄ на проекцию b ̄ на a ̄ ). Т.е. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2. Проекцией вектора a ̄ на вектор b ̄ называется проекция вектора a ̄ на ось, определяемую вектором b ̄. 3)Числовой множитель любого из двух векторов можно вынес- ти за знак скалярного произведения. Т.е.

4)Если один из векторов записан в виде суммы, то их скалярное произведение тоже можно записать в виде суммы. Т.е. 5)Скалярное произведение вектора на себя (скалярный квадрат вектора) равно квадрату его длины. Т.е.

6)Ненулевые векторы a ̄ и b ̄ перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. (критерий перпендикулярности векторов). 7)Если в декартовом прямоугольном базисе векторы a ̄ и b ̄ имеют координаты: a ̄ = {a x ; a y ; a z }, b ̄ = {b x ; b y ; b z }, то (a ̄, b ̄ ) = a x b x + a y b y + a z b z.(1) Формулу (1) называют выражением скалярного произведения через декартовы координаты векторов. 8)Если под действием постоянной силы F ̄ точка перемещается по прямой из точки M 1 в M 2, то работа силы F ̄ будет равна (физический смысл скалярного произведения).