Подготовка к олимпиадам. Развить и выработать прочные умения и навыки использования метода математической индукции. Развитие мышления и способности наблюдать и делать выводы, составлять алгоритм решения задач на доказательства. Повысить свои знания в этой области математики.

Актуальность выбранной темы определяется тем, что учащиеся должны разбираться в тех или иных способах доказательств тождеств, равенств и неравенств. Также значимость, роль и место данной темы определяется необходимостью подготовки учащихся к сдачи ЕГЭ и ГИА.

o 1) Начало индукции. Доказывают или непосредственно проверяют справедливость утверждения ( формулы) для n=1; o 2) Индуктивный переход. Предполагают справедливость утверждения для некоторого натурального n=k. Исходя из этого предположения, доказывают справедливость утверждения для n=k+1.

Решение. Воспользуемся методом математической индукции. 1)При n=1 n 3 +2n=3 делится нацело на 3 утверждение при n=1 верно. 2)Пусть утверждение верно при n=k,то есть (k 3 +2k) делится нацело на 3. Докажем, что из этого следует справедливость утверждения при n=k+1, то есть (k+1) 3 +2(k+1) делится нацело на 3. В самом деле, (k+1) 3 +2(k+1)=k 3 +3k 2 +3k+1+2k+2=(k 3 +2k)+3(k 2 +k+1). Первое слагаемое делится на 3 по индуктивному предположению, второе слагаемое также делится на 3. Следовательно, и вся сумма делится на 3. Утверждение доказано.

Решение: 1) если n=1, то = 57, а 57 делится на 19. 2) предположим, что утверждение верно при некотором натуральном n=k, т.е. число 7 k k-1 делится на 19. Докажем верность утверждения для n=k+1 7 (k+1) (k+1)-1 =7 k k+1 =7*7 k+1 +64*8 2k-1 =7(7 k k-1 )+57*8 2k-1. Так как каждое слагаемое полученной суммы делится на 19, то и 7 k k+1 также делится на 19. Утверждение доказано.

Решение: S(1)=1, S(2)=1+3=4, S(3)=1+3+5=9, S(4)= =16, S(5)= =25. Замечаем, что сумма первых n нечётных чисел натурального ряда равна n 2, т.е. S(n)=n 2. Докажем это. 1) Для n=1 формула верна. 2)Предположим, что она верна для какого-либо натурального n=k, т.е. S(k)=k 2. Докажем, что тогда она будет верна и для n=k+1, т.е. S(k+1)=(k+1) 2 : S(k+1)=1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=S(k)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2. Следовательно, формула верна для всех натуральных значений n, т.е. S(n)=n 2.

В частности, изучив метод математической индукции, мы повысили свои знания в этой области математики, а также научились решать задачи, которые раньше были нам не под силу. В основном это были логические и занимательные задачи, т.е. как раз те, которые повышают интерес к самой математике как к науке. Решение таких задач становится занимательным занятием и может привлечь в математические лабиринты всё новых любознательных. Мы думаем, это является основой любой науки. Продолжая изучать метод математической индукции, мы постараемся научиться применять его не только в математике, но и в решении проблем физики, химии и самой жизни.