Подготовили: обучающиеся 9 «А» класса Горожанкина Елена и Стебунова Анна 2012 г.

Теорема Наполеона - утверждение евклидовой планиметрии о равносторонних треугольниках: Если на каждой стороне произвольного треугольника построить по равностороннему треугольнику, то треугольник с вершинами в центрах равносторонних треугольников тоже равносторонний.

Теорема часто приписывается Наполеону Бонапарту ( ). Возможно, однако, что её предложил У. Резерфорд в публикации 1825 года The Ladies' Diary.

Пусть М, N, К - центры равносторонних треугольников. М N K

Выполним дополнительное построение: соединим точки М, N, К с ближайшими (к каждой из них) двумя вершинами треугольника АВС и между собой. A М K N C B

A М K N C B По свойствам равностороннего (правильного) треугольника АМ=МВ, ВN=NС, СК= КА; угол АМВ равен углу ВNС равен углу СКА равен 120°, а их сумма равна 360.

Выделим шестиугольник АМВNСК, а внешние к нему невыпуклые четырёхугольники отбросим. C

Отсекая теперь от этого шестиугольника треугольники МАК и NСК, перемещая их в плоскости в положение, получаем четырёхугольник МDNK. D M K N

Отрезок МN делит его на два равных (по трем сторонам) треугольника. Углы DNK и DМК равны 120° каждый. Поэтому углы NМК и МNК равны 60° каждый. Следовательно, треугольник МNК равносторонний, что и требовалось доказать. D M K N