Основные понятия алгебры логики. Логические операции. Урок 1: Урок 1:

Высказыванием называется любое повествовательное предложение, про которое известно, что оно или истинно, или ложно.

Например: Жирафы летят на север. - Жирафы летят на север. - Ложное высказывание. Треугольник - это геометрическая фигура. - Истинное высказывание Число 6 не делится на 2. - Ложное высказывание. Посмотрите на доску. – Не высказывание.

Высказывание считается простым, если никакую его часть нельзя рассматривать как отдельное высказывание Высказывание, которое можно разложить на части называется сложным (составным).

В математической логике высказывания обозначают большими латинскими буквами. Например: А = Москва– столица России. С = Все растения ядовиты.

Простые высказывания называютсяПростые высказывания называются логическими переменными Например: А = «Луна является спутником Земли.» А = 1 В = «Москва – столица Германии.» В = 0 В = 0 Любое высказывание может быть ложно (=0) или истинно (=1). !

Сложные высказывания называются логическими функциями,Сложные высказывания называются логическими функциями, а значение логической функции также может принимать значения только 0 или 1.

Составные (сложные) высказывания Составные (сложные) высказывания строятся из простых с помощью логических связок: "и", "или", "не", "не", «если …, то…», «…тогда и только тогда, когда…» «…тогда и только тогда, когда…» и др. Например

обозначим ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗКИ - ЛОГИЧЕСКИМИ ОПЕРАЦИЯМИ и получим с их помощью (составные) высказывания

I. Операция – логическое умножение Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно при помощи союза «и» называется операцией логического умножения или конъюнкцией В алгебре логики конъюнкция обозначается значком « & » либо « Λ »

Высказывание вида A & B (А конъюнкция B ) истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания и А и B ABА & B Таблица истинности для А Таблица истинности для А & В

II. Операция – логическое сложение Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно при помощи союза «или» называется операцией логического сложения или дизъюнкцией В алгебре логики дизъюнкция обозначается значком « V » либо «+»

Высказывание вида A V B (А дизъюнкция B ) истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых (элементарных) высказываний Союз «или» употребляется в неисключающих друг друга случаях. ABА V B Таблица истинности для А Таблица истинности для А V В

III. Операция – логическое отрицание Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией В алгебре логики инверсия обозначается значком « ¬ » либо чертой над высказыванием «Ā» отрицание. Рассмотренные выше операции были двуместные, т.е. выполнялись над двумя высказываниями. В алгебре логики широко применяется и одноместная операция – операция отрицание.

Высказывание вида Ā (инверсия А) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное - истинным Например АА Таблица истинности для Таблица истинности для Ā

IV. Операция – логическое следование Объединение двух высказываний с помощью оборота речи «если …, то …» называется операцией логического следования или импликация « » В алгебре логики импликация обозначается значком « »

Высказывание вида A B (А импликация B ) ложно тогда и только тогда, когда А – истинно, а B – ложно (т.е. из истинного высказывания следует ложное) ABА B Таблица истинности для А Таблица истинности для А В

V. Операция – логическое равенство Объединение двух высказываний с помощью оборота речи «…тогда и только тогда, когда …» называется операцией логического равенства или эквивалентность В алгебре логики эквивалентность обозначается значком « »

Высказывание вида A B (А эквивалентность B) истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны ABА B Таблица истинности для А Таблица истинности для А В

Решение логических выражений Решение логических выражений через построение таблиц истинности Урок 2:

Применяя логические операции, мы можем решить любые логические выражения: 1.Для этого простые логические высказывания обозначим как логические переменные – буквами ; 2.Свяжем их с помощью знаков логических операций. логическими выражениями. Такие формулы в алгебре логики называются логическими выражениями.

Например: Для определения значения логической функции необходимо помнить порядок выполнения логических операций порядок выполнения логических операций по убыванию старшинства Теперь мы можем определить значение логической функции для любого набора значений логических переменных. (X,Y,Z) F (X,Y,Z) =X + Y Λ Z

Операции в логическом выражении выполняются слева направо с учетом скобок в следующем порядке: 1. инверсия; 2. конъюнкция; 3. дизъюнкция; 4. импликация; 5. эквивалентность.

Для построения таблицы истинности любой логической функции следует соблюдать: 1. определить кол-во строк таблицы – 2 n, где n = кол-ву логических переменных; 2. определить кол-во столбцов таблицы- оно равно кол-ву логических переменных + кол-во логических операций;

Для построения таблицы истинности любой логической функции следует соблюдать: 3. построить таблицу истинности с найденным кол-вом строк и столбцов + строка с названием столбцов; 4. заполнить столбцы таблицы, выполняя логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности.

1.Количество входных переменных равно трем (X,Y,Z), а значит строк Q= 2 3 = 8 +1 =9 (заголовки столбцов). 2. Количество столбцов равно 6 (3 переменные + 3 операции). (X,Y,Z) F (X,Y,Z) =X + Y Λ Z Вернёмся к нашему примеру:

Определим значение логической функции XYZXY Λ ZX+ Y Λ Z (X,Y,Z) F (X,Y,Z) =X + Y Λ Z

Значение логической функции XYZXY Λ ZX+ Y Λ Z (X,Y,Z) F (X,Y,Z) =X + Y Λ Z Подробное решение

Математическая логика - решение задач Урок 3:

1)F= (0 \/ 0) \/ (1 \/ 1) 2)F= (1 \/ 1) \/ (1 \/ 0) 3)F= (0 Λ 0) Λ (1 Λ 1) 4)F= ¬1 \/ (1 Λ 1) Λ (¬0 Λ 1) Найдём значения логических выражений: Ответ: 1 Ответ: 0 Ответ: 1

((X > 3) (X > 4)) Для какого из указанных значений числа X истинно высказывание ((X > 3) (X > 4)) Решение: В записи логического высказывания стоит отрицание сложного высказывания. Если ((X > 3) –> (X > 4)) = 1 (истинно), то (X > 3) –> (X > 4) = 0 (ложно) 1) 12)23) 34) 4

((X > 3) (X > 4)) Для какого из указанных значений числа X истинно высказывание ((X > 3) (X > 4)) Решение: 1) 12)23) 34) 4 когда из истинного высказывания следует ложное, Импликация ложна в единственном случае - когда из истинного высказывания следует ложное, тогда (X > 3) = 1, а (X > 4) = 0. X > 3 и X 4 Получаем, что X должно быть задано в диапазоне: X > 3 и X 4. Только одно число входит в этот промежуток – это 4 Правильный ответ – 4. Смотреть другие задания

СПАСИБОЗА ВНИМАНИЕ !