Мини-проект выполнила Щербак Юлия МОУ СОШ7 г.Алексеевка,10 класс Способы решения неравенств с модулем Относительно параметра и от противного

Решение пятое (относительно параметра и от противного) Найти все значения параметра а, при которых неравенство 5+ 7 |- | + 3|+3| + 6|- 3| > 145.

Предположим, что значение а0 параметра не искомое. Это означает, что существует хотя бы одно значение х0 переменной х, при котором исходное неравенство не выполняется, то есть выполняется противоположное по смыслу неравенство 5 х0+ 7 | х0- а0 | + 3| х0+3| + 6| х0- 3| 145 (1)

Очевидно, верно и обратное. Если существует хотя бы одна пара чисел х0 и а0, при которых истинно неравенство (1), то значение а0 параметра не является искомым. Поэтому попробуем найти все значения параметра, при которых существует хотя бы одно решение неравенства 5+ 7 |- | + 3|+3| + 6|- 3| 145 (2)

Тогда все остальные значения параметра будут искомыми. Пусть для удобства 7= р. Относительно р неравенство (2) имеет вид 7- р g(х), что, как известно, равносильно двойному неравенству - g(x) + 7x p g(x) +7x

Отсюда следует, что (2) 12x + 3|x+3|+ 6|x p 2x - 3|x+3|- 6|x-3|+ 145 (3) Необходимое условие существования решений последнего двойного неравенства 12x + 3|x+3|+ 6|x x-3|x+3| - 6|x-3| x - 3|x+3| -6|x-3| 0 (4) которое можно было получить из неравенства (2), используя свойство неотрицательности модуля.

Неравенство (4) относительно модулей |x+3| и |x-3| имеет вид |m| < n. Поэтому, используя нестандартную технику преобразования подобных неравенств получаем, что 0

Неравенство (3) объявляет те и только те значения переменной x, которые являются решением неравенства (3) хотя бы при одном значении параметра, которые нам и осталось найти. Для любого х0 [-34; 11] все значения параметра, при которых являются решением неравенства (3), находятся из этого неравенства, если в него подставить х0 =. Поэтому се искомые значения параметра p принадлежат отрезку [m; M], где m = min (12x+3|x+3| +6|x-3|-145) -34x11 M = max (24 – 3|x+3|+6|x-3|+145) -34x11

При определении т удобно заметить, что при раскрытии модулей мы всегда будем получать выражение вида kx+l, где k>0, так как 12>0. Поэтому f(x) =12x+3|x+3| +6|x-3| является монотонно возрастающей функцией, и следовательно, m = min f(x) = f(-34)=-238. (6) -34x11

Аналогично, при определении М удобно заметить, что коэффициент в выражении 6|x-3|, то есть 6, больше любой комбинации, и следовательно, x = 3 является точкой максимума g(x), где g(x) = 2x-3|x+3|-6|x-3|+145 Откуда M = max g(x) = g(3) = 133 (7) -34x11

Поэтому из (6) и (7) получаем, что -238 p a a 19 (8) Таким образом, неравенство (8) объявляет все значения параметра а, при которых исходное неравенство ложно хотя бы при одном значении переменной х. Следовательно, все остальные значения параметра а есть искомые. Ответ: а 19.