Математика - область человеческого знания, изучающая математические модели, отражающие объективные свойства и связи. Кроме того, математика дает удобные способы описания самых разнообразных явлений реального мира и тем самым выполняет роль языка науки. Наконец, математика дает людям методы изучения и познания окружающего мира, методы исследования как теоретических, так и практических проблем.

Целью изучения математики является повышение общего кругозора, культуры мышления, формирование научного мировоззрения.

Становление и развитие математики как науки, возникновение ее новых разделов тесно связано с развитием потребностей общества в измерениях, контроле, особенно в областях аграрной, промышленной и налогообложения. Первые области применения математики были связаны с созерцанием звезд и земледелием.

Изучение звездного неба позволило проложить торговые морские пути, караванные дороги в новые районы и резко увеличить эффект торговли между государствами. Обмен товарами приводил к обмену культурными ценностями, к развитию толерантности как явления, лежащего в основе мирного сосуществования различных рас и народов.

Понятие числа всегда сопровождалось и нечисловыми понятиями. Например, один, два, много… Эти нечисловые понятия всегда ограждали сферу математики. Математика придавала законченный вид всем наукам, где она применялась. В Европе сложилось разделение на гуманитарные и естественные науки по степени влияния математики на эти части.

Академик Колмогоров А.Н. выделяет четыре периода развития математики: зарождение математики, элементарная математика, математика переменных величин, современная математика.

ПЕРИОД ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ Наши первоначальные представления о числе и форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века. Числовые термины медленно входили в употребление рыболовов, охотников, а затем землевладельцев и торговцев.

Период элементарной математики Возникает понимание математики как самостоятельной научной дисциплины, имеющей собственный предмет исследования (число и фигура) и собственные методы исследования. Возникает дедуктивный метод, получает развитие в работах Евклида, Евдокса, Архимеда, Аполлония. Разрабатывается специальная математическая символика. Возникает алгебра.

Египет

Квадрат с диагоналями. Древневавилонский клинописный текст Фрагмент кожаного свитка, содержащего перечень простых соотношений между дробями. Найден вблизи заупокойного храма Рамзеса II в Фивах. Датируется примерно 1700 г. до н.э. (Британский музей)

Евклид Начала – в течении более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии Данные (δεδομένα) о том, что необходимо, чтобы задать фигуру; О делении (περ διαιρέσεων) сохранилось частично и только в арабском переводе; дает деление геометрических фигур на части, равные или состоящие между собой в заданном отношении; Явления (φαινόμενα) приложения сферической геометрии к астрономии; Оптика ( πτικά) о прямолинейном распространении света. По кратким описаниям известны: Поризмы (πορίσματα) об условиях, определяющих кривые; Конические сечения (κωνικά); Поверхностные места (τόποι πρ ς πιφανεί ) о свойствах конических сечений; Псевдария (ψευδαρία) об ошибках в геометрических доказательствах;

Период математики переменных величин (XVII в – сер. IXX в.) начало периода знаменуется введением переменной величины в работах Декарта и Ферма и возникновением дифференциального и интегрального исчисления в работах Ньютона и Лейбница. Начиная с этого времени, в математике на первый план выходит понятие функции и связанные с ним понятия непрерывность и движение. Открытие аналитической дифференциальной геометрии позволило осознать тесную взаимосвязь между алгеброй, геометрией и анализом, до этого существовавших изолированно. В этом периоде большое значение приобрел аксиоматический метод, позволивший начать исследование природы математики.

Декарт В 1637 году вышел в свет главный математический труд Декарта, «Рассуждение о методе». В этой книге излагалась аналитическая геометрия, а в приложениях многочисленные результаты в алгебре, геометрии, оптике (в том числе правильная формулировка закона преломления света) и многое другое. Символическую алгебру Декарт называл «Всеобщей математикой», и писал, что она должна объяснить «всё относящееся к порядку и мере».

Ферма Ферма разработал основы теории вероятностей, способ систематического нахождения всех делителей числа, сформулировал теорему о возможности представления произвольного числа суммой не более четырёх квадратов. Самое знаменитое его утверждение «Великая теорема Ферма»

Ньютон Первые математические открытия Ньютон сделал ещё в студенческие годы: классификация алгебраических кривых 3-го порядка и биномиальное разложение произвольной степени, с которого начинается ньютоновская теория бесконечных рядов нового и мощнейшего инструмента анализа. Разложение в ряд Ньютон считал основным и общим методом анализа функций, и в этом деле достиг вершин мастерства. Он использовал ряды для вычисления таблиц, решения уравнений (в том числе дифференциальных), исследования поведения функций. Ньютон сумел получить разложение для всех стандартных на тот момент функций. Ньютон разработал дифференциальное и интегральное исчисление. До Ньютона действия с бесконечно малыми не были увязаны в единую теорию и носили характер разрозненных остроумных приёмов

Лейбниц Лейбниц, независимо от Ньютона, создал математический анализ дифференциальное и интегральное исчисление, основанные на бесконечно малых. Лейбниц создал комбинаторику как науку; только он во всей истории математики одинаково свободно работал как с непрерывным, так и с дискретным. Он заложил основы математической логики. Описал двоичную систему счисления с цифрами 0 и 1, на которой основана современная компьютерная техника.

Период современной математики (сер. IXX в. По наст. время) Для него характерно крайне широкое разветвление математики и глубокое развитие аксиоматического метода, результатом которого стало новое фундаментальное понятие – понятие новой математической структуры. В качестве предмета изучения математики стали рассматриваться операции и отношения, определенные на множествах произвольной природы, которые в зависимости от управляющей ими системы аксиом образуют различные математические структуры. Все математические дисциплины стали рассматриваться как модели этих структур. Таким образом, современная математика определяется как наука об абстрактных структурах и их моделях.

К числу основных достижений 20- го века в области оснований математики следует отнести: Выработку понятия формального языка и формальной системы (исчисления) и порождаемой ею теории. Создание математической логики в виде непротиворечивой семантически полной формальной системы. Создание аксиоматизированных формальных теорий арифметики, теории множеств, алгебраических систем и других важных разделов математики. Формальное уточнение понятий алгоритма и вычислимой функции. Арифметизация и погружение в формальную теорию таких важных понятий метаматематики, как доказуемость, непротиворечивость и др., что позволило решать многие метаматематические проблемы математическими средствами.

Математическое моделирование, универсальность математических методов обуславливают огромную роль математики в самых различных областях человеческой деятельности. Основой любой профессиональной деятельности являются умения: строить и использовать математические модели для описания, прогнозирования и исследования различных явлений; осуществить системный, качественный и количественный анализ; владеть компьютерными методами сбора, хранения и обработки информации; владеть методами решения оптимизационных задач. Широкое применение находят математические методы в естествознании и сугубо гуманитарных науках: психологии, педагогике.

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами

Начальные понятия. Существуют понятия, которым невозможно дать сколько-нибудь осмысленное определение. Мы их принимаем как начальные понятия. Смысл этих понятий может быть установлен только на основании опыта. Так, понятия точки и прямой линии являются начальными. На основе начальных понятий мы можем дать определения всем остальным понятиям. Доказательство – рассуждение, устанавливающее какое-либо свойство.

Теорема – утверждение, устанавливающее некоторое свойство и требующее доказательства. Теоремы называются также леммами, свойствами, следствиями, правилами, признаками, утверждениями. Доказывая теорему, мы основываемся на ранее установленных свойствах; некоторые их них также являются теоремами. Однако некоторые свойства рассматриваются в геометрии как основные и принимаются без доказательств. Аксиома – утверждение, устанавливающее некоторое свойство и принимаемое без доказательства. Аксиомы возникли из опыта, и опыт же проверяет их истинность в совокупности. Можно построить систему аксиом различными способами. Однако важно, чтобы принятый набор аксиом был минимальным и достаточным для доказательства всех остальных геометрических свойств. Заменяя в этом наборе одну аксиому другой, мы должны будем доказывать заменённую аксиому, так как она теперь уже не аксиома, а теорема.