Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности

Пример 1. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на четыре области. Выстрел это испытание. Попадание в определенную область мишени событие. Пример 2. В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появление шара определенного цвета событие. Примеры равновозможных событий. Пример 5. Появление «герба» и появление надписи при бросании монеты равновозможные события. Действительно, предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты. Пример 6. Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости равновозможные события. Действительно, предполагается, что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного многогранника и наличие очков не оказывает влияния на выпадение любой грани.

Примеры несовместных событий. Пример 1. Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» несовместные. Пример 2. Брошена монета. Появление «герба» исключает появление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» несовместные. Примеры полной группы. Пример 3. Приобретены два билета денежно - вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: «выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй», «выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй», «выигрыш выпал на оба билета», «на оба билета выигрыш не выпал». Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий. Пример 4. Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно произойдет одно из следующих двух событий: попадание, промах. Эти два несовместных события образуют полную группу.

Пример 1. Попадание и промах при выстреле по цели противоположные события. Если А попадание, то противоположное событие промах. Пример 2. Из ящика наудачу взята деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» противоположные.

Пример 1. Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет. Р е ш е н и е. Вероятность появления герба первой монеты (событие А) Р (А) = 1 / 2. Вероятность появления герба второй монеты (событие В) Р (В) = 1 / 2. События А и В независимые, поэтому искомая вероятность по теореме умножения равна Р (АВ) = Р (А) Р (В) = 1 / 2 * 1 / 2 = 1 / 4.

Пример 2. Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными. Р е ш е н и е. Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь (событие А), P (A) = 8 / 10 = 0,8. Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие В), Р (В) = 7 / 10 = 0,7. Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие С), Р (С) = 9 / 10 = 0,9. Так как события А, В и С независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения) равна Р (АВС) = Р (А) Р (В) Р (С) = 0,8 * 0,7 * 0,9 = 0,504.

Пример 1. Отдел технического контроля обнаружил 3 нестандартных детали в партии из 80 случайно отобранных деталей. Относительная частота появления нестандартных деталей W (А) = 3 / 80. Пример 2. По цели произвели 24 выстрела, причем было зарегистрировано 19 попаданий. Относительчая частота поражения цели W (А) = 19 / 24.