Различные доказательства теоремы Пифагора.

Содержание: 1)Введение………………………………………………………………………....3 слайд 2)Жизнь и творчество Пифагора………………………………………..4 слайд 3)История теоремы Пифагора……………………………………………5 слайд 4)Доказательство Евклида…………………………………………………6 слайд 5)Древнекитайское доказательство……………………………………8 слайд 6)Древнеиндийское доказательство…………………………………10 слайд 7)Доказательство с помощью листка бумаги и ножниц…….12 слайд 8) Доказательство Дж. Гардфилда ……………………………………13 слайд 9) Занимательные задачи по теореме Пифагора………………... 10)Вывод……………………………………………………………………………. 11)Литература……………………………………………………………………..

Введение: «Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника» Это всем давно известная теорема, многие знают её и все прекрасно знают, что её открыл Пифагор. Все прекрасно знают и самого Пифагора и теорему, но не многие знают биографию Пифагора, а также различные способы доказательства этой непростой теоремы. Моя работа и поможет поближе познакомиться с ними.

Жизнь и творчество Пифагора:

История теоремы Пифагора: Первый раз упоминается о теореме Пифагора в древнекитайской книге Чу-пей. Там говорится о треугольнике со сторонами 3, 4 и 5. Но Мориц Кантор* считает, что 3 ² + 4 ² = 5² это равенство было открыто намного ранее египтянами около 2300 г. до н.э. Но всё же никто так и не знает, где же на самом деле зародилась эта теорема Пифагора.

Доказательство Евклида: Евклид доказывал, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда площади большого и двух малых квадратов равны. Доказать: Что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах. Доказательство: Рассмотрим чертёж => построены квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч S гипотенузе АВ и рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника-BHJI и HKAJ=> площади данных прямоугольников равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах. Евклид. Древний математик.

Рассмотрим квадрат DECA и прямоугольник AHJK=> Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту => площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK. Рассмотрим треугольник ACK и квадрат DECA=> ACK=BDA (по 1 признаку) =>AB=AK, AD=AC Рассмотрим CAK и BAD=> повернём треугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата 90°). Равенство площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI доказывается точно также. Тем самым мы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах. Данное доказательство также получило название «Пифагоровы штаны». Не зря говорят: «Пифагоровы штаны во все стороны равны».

Древнекитайское доказательство: Дано: Четыре равных прямоугольных треугольника с катетами а, b и гипотенузой с. Эти треугольники уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной а+b, а внутренний квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе. Доказать: Что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна с 2, а с другой а 2 +Ь 2, т.е. с 2 =а 2 +Ь 2.

1)четыре равных прямоугольных треугольника со сторонами а и b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной а+b, а внутренний - квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе; 2)вырежем квадрат со стороной с; 3)уложим оставшиеся 4 треугольника более темного цвета в два прямоугольника; 4)видим, что образовавшаяся "пустота" с одной стороны равна c 2, а с другой - a 2 +b 2,значит a 2 +b 2 =c 2. Как мы можем предположить, древнекитайские математики имели другое доказательство. Именно если в квадрате со стороной с два заштрихованных треугольника (рис. 2, б) отрезать и приложить гипотенузами к двум другим гипотенузам (рис. 2, г), то легко обнаружить, что полученная фигура, которую иногда называюткреслом невесты, состоит из двух квадратов со сторонами а и b, т. е. с2=а2+Ь2. На рисунке 3 воспроизведен чертеж из трактата Чжоу-би..... Здесь теорема Пифагора рассмотрена для египетского треугольника с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 единиц измерения. Квадрат на гипотенузе содержит 25 клеток, а вписанный в него квадрат на большем катете16. Ясно, что оставшаяся часть содержит 9 клеток. Это и будет квадрат на меньшем катете.

Древнеиндийское доказательство: Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. Первый индийский чертёж был написан на пальмовых листьях трактате* «Сиддханта широмани» («Венец знания») крупнейшего индийского математика XII в. Бхаскары помещен чертеж (рис. а).

Доказательство: 1)имеется 2 равных квадрата, длина сторон каждого равна а+b; 2)разобьем каждый квадрат на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников; 3)вычтем из площади квадрата площадь прямоугольного треугольника со сторонами а и b,увеличенную в 4 раза; 4)получаем, что в каждом из этих квадратов остаются фигуры, имеющие равные площади. Обратим внимание, что построение квадрата, площадь которого вдвое больше площади данного квадрата встречаются в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» (VII V вв. до н.э.).

Доказательство с помощью листка бумаги и ножниц: Перигэл открыл свой способ разрезания квадрата где-то около 1830 года, но опубликовал его лишь в 1873 году. Он был в таком восторге от своего открытия, что приказал отпечатать схему разрезания квадрата на своей визитной карточке и изготовил и роздал сотни головоломок, в которых из пяти частей нужно было сложить два квадрата. Доказательство: Для начала нужно разделить большой квадрат (или любой из квадратов, если прямоугольный треугольник равнобедренный) на четыре одинаковые части, затем надо провести через центр квадрата две взаимно перпендикулярные прямые, одна из которых параллельна гипотенузе треугольника => из листа бумаги нужно, вырезать части большего квадрата и меньший квадрат => не меняя их ориентации на плоскости, вырезанные части можно передвинуть так, что они составят один большой квадрат (на рис. этот квадрат показан пунктиром), построенный на гипотенузе.

Доказательство Дж. Гардфилда : Расположим два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного из них был продолжением другого. Площадь рассматриваемой трапеции находится как произведение полусуммы оснований на высоту S = C другой стороны, площадь трапеции равна сумме площадей полученных треугольников: S = Приравнивая данные выражения, получаем: или с 2 = a 2 + b 2

Занимательные задачи по теореме Пифагора: Задача 1: Древнеиндийская задача Над озером тихим С полфута размером Высился лотоса цвет. Он рос одиноко, И ветер порывом Отнёс его в сторону. Нет Боле цветка над водой. Нашёл же рыбак его Ранней весною В двух футах от места, где рос. Итак, предложу я вопрос: Как озера вода здесь глубока? Какова глубина в современных единицах длины (1 фут приближённо равен 0,3 м)? Решение. Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда AD = AB = Х + 0,5. Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB 2 – AC 2 = BC 2, (Х + 0,5) 2 – Х 2 = 2 2, Х 2 + Х + 0,25 – Х 2 = 4, Х = 3,75. Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута. 3, 75 0,3 = 1,125 (м) Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.

Задача 2: Задача индийского математика XII в. Бхаскары. На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота? Решение. Пусть CD – высота ствола. BD = АВ. По теореме Пифагора имеем АВ = 5. CD = CB + BD,CD = =8. Ответ: 8 футов.

Задача 3: Задача арабского математика XI в На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба? Решение: Итак, в треугольнике АDВ: АВ 2 =ВD 2 +АD 2 АВ 2 =30 2 +Х 2 АВ 2 =900+Х 2 ; в треугольнике АЕС: АС 2 = СЕ 2 +АЕ 2 АС 2 =20 2 +(50 – Х) 2 АС 2 = – 100Х+Х 2 АС 2 =2900 – 100Х+Х 2. Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одинаковое время. Поэтому АВ 2 =АС 2, 900+Х 2 =2900 – 100Х+Х 2, 100Х=2000, Х=20, АD=20. Значит, рыба была на расстоянии 20 локтей от большой пальмы. Ответ: 20 локтей.

Вывод:

Литература: А.В. Волошинов «Пифагор» М Сигачёв А. А. Пифагор (научно-популярный очерк) // Электронный журнал «Знание. Понимание. Умение» История. В.Литцман. Теорема Пифагора – государственное издательство физико-математической литературы, Москва, 1960, с.7-16