Теория матриц Лекция 5

План лекции: Понятие матрицы. Операции с матрицами. Определители, их свойства. Обратная матрица. Характеристическое уравнение матриц.

Матрица это система элементов a ij (чисел, функций или иных величин, над которыми можно производить алгебраические операции), расположенных в виде прямоугольной таблицы. Если схема имеет m строк и n столбцов, то говорят о (m × n)-матрице.

Первый индекс указывает номер строки, а второй – номер столбца. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Главной диагональю матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний. При m=n матрица называется квадратной, а число n её порядком. Квадратная матрица А называется диагональной, если все ее элементы, кроме находящихся на главной диагонали, равны нулю.

Единичные матрицы – частный случай диагональных, в них все элементы, находящиеся на главной диагонали, равны 1. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей или нуль- матрицей. Матрица, состоящая из одной строки, называется строкой (строковой), из одного столбца столбцом. Если все a i = a, получают скалярную матрицу. Переставив в матрице строки со столбцами, получают транспонированную матрицу A, или A T. Наряду с конечными матрицами могут быть матрицы с бесконечным числом строк или столбцов

Действия над матрицами Умножение матрицы на число. Произведением прямоугольной (m × n)- матрицы А на число называют матрицу, элементы которой получены из элементов a ij умножением на число k:

Например: Сложение матриц Сумма прямоугольных матриц одинакового размера равна: Например:

Умножение матриц определяется только для прямоугольных матриц таких, что число столбцов первого множителя равно числу строк второго. Произведением (m × р) - матрицы А на (р × n) - матрицу В будет (m × n)- матрица С с элементами c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j a ip b pj, i =1,..., m, j = 1,..., n.

Найти произведение матриц: Введённые действия над матрицами обладают свойствами, близкими к свойствам действий над числами. Исключением является отсутствие коммутативного закона при умножении матриц: равенство AB = BA может не выполняться. Матрицы А и В называются коммутирующими (перестановочными), если AB = BA. Кроме того, произведение двух матриц может равняться нулевой матрице, хотя каждый сомножитель отличен от нулевой.

Свойства действия умножения матриц (AB)C = A(BC) (ассоциативность умножения) (kA)B = A(kB) = k(AB)

Транспонирование матрицы Если в матрице А размера m×n заменить строки на столбцы, то получится матрица размера n×m, называемая транспонированной по отношению к матрице А Так, если

Определители Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a 11 a 22 – a 12 a 21.

Определитель обозначается символом det A, Δ,,числа a 11,a 12,a 21 a 22 называются элементами определителя; a 11,a 22 – образуют главную диагональ, а a 12,a 21 – побочную. Следовательно чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали. Δ=

Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом: Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a 11, a 12, a 13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Обратная матрица Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц. Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A -1 и удовлетворяющая условию Теорема. Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

Найти определитель матрицы A. Найти алгебраические дополнения A ij всех элементов матрицы A и составить матрицу A, элементами которой являются числа A ij. Найти матрицу, транспонированную полученной матрице A T, и умножить её на Итак, чтобы найти обратную матрицу нужно:

Примеры Найти матрицу, обратную данной: |A| = 2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Основная литература: Ганичева А.В., Козлов В.П. Математика для психологов. М.: Аспект-пресс, 2005, с Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики. М., ГЭОТАР-Медиа, Журбенко Л. Математика в примерах и задачах. М.: Инфра-М, 2009.