Реальная жизнь оказывается не такой простой и однозначной. Исходы многих явлений невозможно предсказать заранее, какой бы полной информацией мы о них не располагали. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет брошенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе захотят в течение ближайшего часа позвонить по телефону. Такие непредсказуемые явления называются случайными.Однако случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Именно такие закономерности изучаются в специальном разделе математики –

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей. Б. Паскаль П. Ферма

В этот период вырабатываются первые специфические понятия, такие, как математическое ожидание и вероятность (в форме отношения шансов), устанавливаются и используются первые свойства вероятности: теоремы сложения и умножения вероятностей. В это время теория вероятностей находит свои первые применения в демографии, страховом деле, в оценке ошибок наблюдения, широко используя при этом понятие вероятности. Следующий период начинается с появления работы Я. Бернулли "Искусство предположений" (1713), в которой впервые была строго доказана первая предельная теорема простейший случай закона больших чисел. Якоб Бернулли В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок и наблюдений; Лаплас и Пауссон доказали первые предельные теоремы.XIX века

Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов.XIX века Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. Этого прежде всего требовала практика, так как для успешного применения теории вероятностей в физике, биологии и других областях науки, а также в технике и военном деле необходимо было уточнить и привести в стройную систему ее основные понятия. Благодаря аксиоматике теория вероятностей стала абстрактно-дедуктивной математической дисциплиной, тесно связанной с другими математическими дисциплинами. Это обусловило небывалую широту исследований по теории вероятностей и ее применениям, начиная от хозяйственно- прикладных вопросов и кончая самыми тонкими теоретическими вопросами теории информации и теории случайных процессов. А. Н. Колмогоров

Следствие действия очень многих причин есть случайное событие. О. Результат произведенного (или могущего быть произведенным)испытания называется событием. Наблюдаемые нами события можно разделить на три вида: достоверные события, невозможные события и случайные события. О. Событие называется достоверным, если в результате данного испытания оно обязательно произойдет. Например: извлечение белого шара из урны, содержащей только белые шары. О. Событие называется невозможным, если в результате данного испытания оно произойти не может. Например: извлечение голубого шара из урны, содержащей только белые шары. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.разделов математики

Пример: попадание в цель при выстреле из орудия. О. Событие называется случайным, если в результате данного испытания оно может произойти не или не произойти. О. Два события А и В называются несовместными, если появление одного из них исключает возможность появления другого. Пример: в урне находятся белые и черные шары; вынимаем один шар; событие А – белый шар, событие В – черный шар; события А и В несовместны. О. Два события А и В называются совместными, если появление одного из них не исключает возможность появления другого. Пример: бросаются два игральных кубика; событие А – выпадение шестерки на первом кубике, событие В – выпадение шестерки на втором кубике; события А и В совместны. О. Группа событий А 1, А 2,…, А n называется группой несовместных событий, если события, входящие в группу, попарно несовместны. Пример: производится выстрел по мишени; событие А 1 – попадание в десятку, событие А 2 – попадание в пятерку; событие А 3 – промах; события А 1, А 2, А 3 образуют группу несовместных событий.

О. Группа событий А 1, А 2,…, А n называется группой совместных событий, если совместны хотя бы два события из этой группы. Пример: производится выстрел по мишени; событие А 1 – попадание в цель при первом выстреле, событие А 2 – попадание в цель при втором выстреле; событие А 3 – попадание в цель при третьем выстреле; события А 1, А 2, А 3 образуют группу совместных событий. О. Событий А 1, А 2,…, А n называют единственно возможными, если при испытании неизбежно произойдет хотя бы одно из этой событий. Пример: при двукратном бросании монеты единственно возможными будут события: событие А 1 – ГГ, А 2 – РР; А 3 – ГР, А 4 – РГ (Г- выпадение герба, Р- выпадение решки). О. Событий А 1, А 2,…, А n образуют полную группу событий, если они являются единственно возможными и несовместными исходами некоторого испытания. Пример: производится выстрел по мишени; событие А 1 – попадание, событие А 2 – промах; события А 1, А 2 образуют полную группу событий.

О. Событий А 1, А 2,…, А n называют равновозможными, если имеются основания полагать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие. Пример: бросается игральный кубик; события А 1, А 2, А 3, А 4 А 5, А 6 - являются равновозможными, где событие А 1 – появление 1, событие А 2 – появление 2, …., событие А 6 – появление 6. Определение вероятности. О. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствуюших этому событию исходов к общему числу всех простых, попарно несовместных, единственно возможных и равновозможных исходов испытания : Р(А) = Возможны случаи:. вероятность случайного события есть неотрицательное число (противоположное событие).

Пример : игральный кубик подбросили один раз. Какова вероятность появления шестерки. Решение. m = 1, n = 6 Р(А) =, Р(А) =. О. Суммой А +В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении либо события А, либо события В, либо обоих этих событий вместе. Т1. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий: Р(А +В) = Р(А) + Р(В). Т2. Вероятность суммы конечного или бесконечного множества несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А 1 + А 2 +…+ А n ) = Р(А 1 ) + Р(А 2 ) +…+ Р(А n ). С1. Если события А 1, А 2,…, А n образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единицы: Р(А 1 ) + Р(А 2 ) +…+ Р(А n )=1. С2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единицы: Р(А) + = 1. Вероятность того, что при n исходов события ровно k раз выпадает один и тот же исход, будет равна

Пример: Студент сдает экзамен по теории вероятностей; вероятность получить на экзамене «неуд.» равна 0,1; «уд.» – 0,6; «хор.» -0,2; «отл.» -0,1. Какова вероятность того, что студент получит на экзамене положительную оценку? Решение. Событие А- получить на экзамене положительную оценку, тогда Р(А) = Р(3)+Р(4)+Р(5), Р(А) = 0,5 +0,2 +0,1 = 0,9. или так как событие А и событие получить на экзамене «неуд.» являются противоположными, то Р(А) = 1 -, Р(А) = 1 – 0,1 = 0,9. О. Произведением АВ двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении и события А и события В. О. Вероятность наступления события А, вычисленная при условии наступления другого события В, называют условной вероятностью события А по отношению к событию В, или. Т3. Вероятность произведения АВ двух событий А и В равна произведению вероятности одного из них (которое происходит первым) на условную вероятность другого: Р(АВ) = Р(А).

О. Событие В называют независимым по отношению к событию А, если вероятность события В не зависит от того, произошло событие А или нет. В противном случае событие В называют зависимым от события А Пример: В урне находятся 7белых и 3 черных шара; подряд извлекают два шара. Какова вероятность того, что они оба черные. Решение. Событие А-первый шар черный, событие В-второй шар черный, тогда Р(АВ) = Р(А), Р(АВ) =, где - вероят- ность того, что второй вынутый шар черный, при условии, что первый шар также черный. Пример: Монету подбросили два раза. Найти вероятность того, что оба раза выпадает герб. Решение. Событие А- первый раз выпадает герб, событие В- второй раз выпадает герб, тогда Р(А) = ½ и Р(В) = ½. Так как события независимы, то Р(АВ) = Р(А)Р(В), Р(АВ) = ½ ½ =1/4. Для независимых событий формула вероятности произведения двух событий принимает вид: Р(АВ) = Р(А)Р(В).

Т4. Вероятность появления хотя бы одного из совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Р(А + В) = Р(А) +Р(В) - Р(А)Р(В). Пример: Производится два выстрела по одной и той же мишени. Вероятность попадания в мишень при первом выстреле равна 0,6, при втором 0,8.Найти вероятность того, сто в мишени будет хотя бы одна пробоина. Решение. Событие А –попадание при первом выстреле, событие В – при втором выстреле. Так как события А и В являются совместными и независимыми, следовательно, Р(А + В) = Р(А) +Р(В) - Р(А)Р(В), Р(А + В) =0,6 + 0,8 – 0,6 0,8 = 0,92. или пусть событие С – в мишени будет хотя бы одна пробоина, - в мишени нет пробоин, тогда Р(С) = 1 – Р( ), но Р( ) = Р( ) Р( ), Р( ) = 0,4 0,2=0,08, Р(С) = 1- 0,08 = 0,92.

Возникновение и развитие теории вероятностей продиктовано необходимостью ее применениям, начиная от хозяйственно-прикладных вопросов и заканчивая самыми тонкими теоретическими вопросами теории информации и теории случайных процессов.